Te damos la bievenida
En esta página encontrarás de forma libre y gratuita material de preparación para olimpiadas de matemáticas de Enseñanza Secundaria y Bachillerato. El material está organizado por categorias y niveles con unidades teóricas, ejercicios resueltos y propuestos, preguntas tipo test y problemas.
Retos de la semana 26 de 2026
Nivel 1. Sobre un tablero en forma de triángulo equilátero con un número par de filas $n$ (tal como se indica en la figura para $n=4$), se juega un solitario. Sobre cada casilla se coloca una ficha. Cada ficha es blanca por un lado y negra por el otro. Inicialmente, sólo una ficha, que está situada en un vértice, tiene la cara negra hacia arriba; las demás fichas tienen la cara blanca hacia arriba. En cada movimiento del juego se retira solamente una ficha negra del tablero y se da la vuelta a cada una de las fichas que ocupa una casilla vecina. Después de varios movimientos, ¿será posible quitar todas las fichas del tablero?
Nivel 2. Determinar razonadamente la cantidad de valores distintos que aparecen en la sucesión
\[\left\lfloor\frac{2025}{1}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{2025}{2}\right\rfloor, \left\lfloor\frac{2025}{3}\right\rfloor,\ldots, \left\lfloor\frac{2025}{2025}\right\rfloor.\]
Resultado de la semana
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Si $x_1,x_2,\ldots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_n$ son números reales cualesquiera, entonces \[(x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n)^2\leq(x_1^2+\ldots+x_n^2)(y_1^2+\ldots+y_n^2).\] Esta desigualdad se convierte en igualdad solo si existen $a,b\in\mathbb{R}$ tales que $ax_i+by_i=0$ para todo subíndice $i\in\{1,\ldots,n\}$. Ejercicio 1. Demuestra que, si $n$ es un número natural, entonces\[1^2+2^2+\ldots+n^2\leq(1+2+\ldots+n)(1^3+2^3+\ldots+n^3).\] Ejercicio 2. Demuestra que para cualesquiera números reales $x_1,\ldots,x_n$ se cumple que \[(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2\leq n(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2).\] Ejercicio 3. Si $a,b,c$ son números reales positivos tales que $a+b+c=1$, ¿Cuál es el valor máximo posible de $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$?
La resolución de problemas
Resolver problemas de olimpiadas matemáticas es una tarea difícil que requiere una dosis considerable de entrenamiento ya que debemos reunir conocimientos, ingenio y razonamiento lógico. Sin embargo, encontrar la solución compensa el esfuerzo empleado como cuando finalmente derrotamos a un boss de un videojuego o colocamos la última pieza de un puzzle. Paul Halmos dijo que el corazón de las matemáticas son sus propios problemas porque son las cuestiones sin resolver las que motivan a la comunidad matemática a seguir progresando. Avances relevantes en profundas teorías matemáticas se deben a menudo a ideas que surgen de esquemas de razonamiento sencillos que han aparecido antes en otras situaciones. De esta forma, los problemas que resolvemos se convierten en ideas que aplicar a los que están por resolver. No siempre hay que inventarse una idea feliz que a nadie más se le hubiera ocurrido sino que es más eficaz saber relacionar el problema con otros que ya hayamos resuelto previamente.
Ideas para prepararte
Cada problema tiene una idea bonita que al aparecer en nuestra mente nos da el placer de haber hecho un pequeño descubrimiento. No debes olvidar que si participas en la olimpiada es porque sientes este placer y te diviertes mientras piensas. Por desgracia, en la educación secundaria se ha dejado de lado el resolver problemas y sólo se hacen ejercicios. Vamos a dejar clara una cosa: un ejercicio es lo que te piden justo después de explicarte algo y en el que sabes que necesitas ese algo para dar la solución, mientras que un problema es un reto y no sabes de antemano qué vas a tener que usar para resolverlo. Por ello, es conveniente haber visto antes otros problemas y saber de qué van los que te vas a encontrar en las olimpiadas. A continuación encontrarás algunas ideas que te pueden orientar en este proceso.
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Resuelve problemas
La parte más importante de la preparación es haberse enfrentado a muchos problemas, tanto si salen como si no. Es importante aceptar de antemano que la mayoría no saldrán, pero es necesario intentarlos para comprender después dónde está la dificultad y qué es lo que "no se nos ha ocurrido". Busca problemas del nivel adecuado y dales más de una oportunidad. A veces no salen y más adelante sí.
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Escribe tus ideas
Hay una diferencia muy grande entre lo que pensamos y lo que escribimos, porque nos exigimos más al escribir (posiblemente porque otros lo van a leer o porque no nos gusta plasmar algo de lo que no estamos totalmente seguros). Cuando tengas la solución a un problema, incluso estando casa, tómate el tiempo para escribirla porque ahí te darás cuenta de posibles errores y aprenderás más. Compártela con tu profesor/a u otros compañeros/as si es posible. No es necesario escribirlo todo con mucho rigor matemático, pero tiene que quedar claro lo que has pensado y los cálculos que has realizado. A veces no sabemos qué cosas explicar y qué cosas no, así que escribe como si fueras tú quien tuviera que leerlo varios años después y saber lo que pensaste.
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Lee soluciones
Es normal encontrar manuales de preparación generales o sobre temas específicos y casi todos explican diversas técnicas matemáticas trabajando con problemas reales a modo ejemplo. También suelen incluirse soluciones a los problemas propuestos. Puede ayudarte mucho leer las soluciones después de haber pensado en profundidad sobre el problema (deberías intentarlos más de una vez antes de rendirte). Piensa que las "ideas felices" no son exclusivas de gente muy inteligente sino que también pueden entrenarse: haber visto una técnica concreta aplicada a un problema puede hacer que se te ocurra enfocar otro problema de forma parecida. Cuando leas soluciones, anota las ideas y resultados que consideres relevantes.
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Recopila recursos
A veces vemos un problema y no tenemos ni idea de por dónde empezar. Es normal. Asegúrate de entender bien el enunciado y pregunta si no entiendes algún concepto o qué te están pidiendo. No obstante, es importante conocer recursos para tratar diversos problemas y no quedarse en blanco. Anota conceptos recurrentes y recopila distintos enfoques. Por ejemplo, es interesante saber varias formas de probar que un número divide a otro o que tres puntos están alineados.
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No se puntúa en negativo
Por lo general, en la corrección de problemas de olimpiadas no se penaliza haber escrito algo mal (incluso alguna que otra burrada); simplemente a la hora de corregir se hace como si eso no estuviera. Por tanto, no te cortes en intentar distintos enfoques o dejar cosas en sucio, porque en ocasiones sí que puede haber algo que cuente en positivo. Prueba con ejemplos siempre que no sepas por dónde seguir y úsalos para realizar conjeturas razonables que puedan llevar a una solución. Aunque un ejemplo no es una demostración de un caso general, sí puede darte una pista para dicho caso general.
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Evita frustrarte y diviértete
Incluso habiéndose preparado, es muy frecuente ver la hoja de problemas, pensar que son más difíciles de lo esperado y venirse abajo. Aunque sea un tópico, hay que pensar que son igual de difíciles para todo el mundo. No es necesario hacer todos los problemas (ni mucho menos) para alcanzar una buena posición en la mayoría de competiciones. Piensa que en muchas competiciones se dan premios (menciones honoríficas) por tener la puntuación máxima en algún problema, por lo que tienes que valorar si inviertes tu tiempo en algún problema concreto o lo repartes entre varios.
Una cita al azar...
