Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas
Te damos la bievenida
En esta página encontrarás de forma libre y gratuita material de preparación para olimpiadas de matemáticas de Enseñanza Secundaria y Bachillerato. El material está organizado por categorias y niveles con unidades teóricas, ejercicios resueltos y propuestos, preguntas tipo test y problemas.
Retos de la semana 4 de 2026
¿puedes deducir el color de algún sombrero de los que no ves?Una vez que ha respondido (todas oyen la respuesta), pasamos a la persona de su izquierda y le hacemos la misma pregunta, y así sucesivamente. Demostrar que una de las tres primeras responderá
Sí.
Resultado de la semana
Una ceviana de un triángulo $ABC$ es un segmento que une un vértice con un punto de la recta que contiene al lado opuesto. Ejemplos muy conocidos de cevianas son las medianas, las bisectrices o las alturas de un triángulo (las mediatrices no, ya que no pasan por los vértices en general). En estos tres casos, las cevianas se cortan en un punto: el baricentro, el incentro y el ortocentro, respectivamente. El teorema de Ceva nos da una condición general para que tres cevianas, una saliendo de cada vértice de $ABC$ se corten en un punto.
Dados $X,Y,Z$ en las rectas $BC,AC,AB$, respectivamente, distintos de los vértices. Las rectas cevianas $AX,BY,CZ$ son concurrentes si, y sólo si, \[\left[\frac{CX}{BX}\right]\cdot\left[\frac{AY}{CY}\right]\cdot\left[\frac{BZ}{AZ}\right]=1.\] Los corchetes aquí indican la razón simple y hay que tener cuidado con su signo: por ejemplo, el cociente $[\frac{CX}{BX}]$ debe considerarse positivo si $X$ está entre $B$ y $C$ y negativo si no lo está. Recordemos que $X$ es cualquier punto de la recta $BC$, no tiene por qué estar en el lado $BC$ del triángulo. En la imagen se puede ver dos ejemplos de cevianas concurrentes en un punto $P$, uno de ellos dentro del triángulo y otro fuera del triángulo.
Ejercicio 1. Demostrar, usando el teorema de Ceva, que las medianas de un triángulo se cortan en un punto. Ejercicio 2. Demostrar, usando el teorema de Ceva, que las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto (indicación: usar el teorema de la bisectriz). Ejercicio 3. Demostrar, usando el teorema de Ceva, que las alturas de un triángulo se cortan en un punto (observa que en este caso el punto de corte (ortocentro) puede ser exterior al triángulo). Ejercicio 4. Sea $ABC$ un triángulo y supongamos que una circunferencia $\Gamma$ corta a sus lados en los puntos $X$ y $R$ en $BC$, $Y$ e $S$ en $AC$ y $Z$ y $T$ en $AB$. Si las cevianas $AX$, $BY$ y $CZ$ son concurrentes, demuestra que $AR$, $BS$ y $CT$ también son concurrentes.La resolución de problemas
Resolver problemas de olimpiadas matemáticas es una tarea difícil que requiere una dosis considerable de entrenamiento ya que debemos reunir conocimientos, ingenio y razonamiento lógico. Sin embargo, encontrar la solución compensa el esfuerzo empleado como cuando finalmente derrotamos a un boss de un videojuego o colocamos la última pieza de un puzzle. Paul Halmos dijo que el corazón de las matemáticas son sus propios problemas porque son las cuestiones sin resolver las que motivan a la comunidad matemática a seguir progresando. Avances relevantes en profundas teorías matemáticas se deben a menudo a ideas que surgen de esquemas de razonamiento sencillos que han aparecido antes en otras situaciones. De esta forma, los problemas que resolvemos se convierten en ideas que aplicar a los que están por resolver. No siempre hay que inventarse una idea feliz que a nadie más se le hubiera ocurrido sino que es más eficaz saber relacionar el problema con otros que ya hayamos resuelto previamente.
Ideas para prepararte
Cada problema tiene una idea bonita que al aparecer en nuestra mente nos da el placer de haber hecho un pequeño descubrimiento. No debes olvidar que si participas en la olimpiada es porque sientes este placer y te diviertes mientras piensas. Por desgracia, en la educación secundaria se ha dejado de lado el resolver problemas y sólo se hacen ejercicios. Vamos a dejar clara una cosa: un ejercicio es lo que te piden justo después de explicarte algo y en el que sabes que necesitas ese algo para dar la solución, mientras que un problema es un reto y no sabes de antemano qué vas a tener que usar para resolverlo. Por ello, es conveniente haber visto antes otros problemas y saber de qué van los que te vas a encontrar en las olimpiadas. A continuación encontrarás algunas ideas que te pueden orientar en este proceso.