Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Asumiendo que lo que ocurre en cada examen es independiente de lo que pase en los anteriores, hay $(n-1)^n$ posibles situaciones en que ninguna pregunta de ninguno de los $n$ exámenes es la que se sabe y el número de situaciones totales es $n^n$. La probabilidad de que apruebe es $1$ menos la probabilidad de que suspenda, que de este modo puede calcularse como \[p_n=1-\frac{(n-1)^n}{n^n}=1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^n.\] Veamos que se trata de una sucesión estrictamente decreciente, para lo que aplicamos la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica a $n+1$ números: $n$ de ellos iguales a $1-\frac{1}{n}$ y el otro igual a $1$. Esto nos da la siguiente desigualdad estricta (ya que no todos los números a los que se aplica la desigualdad MA-MG son iguales): \[\sqrt[n+1]{1\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)^n}\leq\frac{1+n(1-\frac{1}{n})}{n+1}.\] Tras manipulaciones algebraicas sencillas obtenemos que $p_n\gt p_{n+1}$.

En cuanto al apartado (c), se comprueba fácilmente que el límite es $1-e^{-1}$ resolviéndolo como una indeterminación de tipo $1^\infty$. También respondemos fácilmente al apartado (d) ya que la mayor de las cotas inferiores es el propio límite $1-e^{-1}$ ya que se trata de una sucesión estrictamente decreciente y con límite finito.

Nota. La idea de usar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica es estándar en este tipo de desigualdades y está inspirada en la demostración de que la sucesión $(1+\frac{1}{n})^n$ cuyo límite define al número $e$ es estrictamente creciente.

Solución. Denotemos por $A$ a la fracción central. Elevando al cuadrado obtenemos que \[A^2=\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdots 99^2}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2\cdots 100^2}.\] Observemos que \[(2n-1)^2=4n^2-4n+1\gt 4n^2-4n=2n(2n-2),\] luego cada cuadrado de un número impar en el numerador puede acotarse inferiormente por el producto de los pares anterior y posterior, es decir, \[A^2=\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdots 99^2}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2\cdots 100^2}\gt\frac{1^2\cdot (2\cdot 4)\cdot (4\cdot 6)\cdots (98\cdot 100)}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2\cdots 100^2}=\frac{1}{200},\] de donde se obtiene la desigualdad de la izquierda del enunciado.

Si ahora hacemos lo mismo con los cuadrados del denominador, teniendo en cuenta que \[(2n)^2=4n^2\gt 4n^2-1=(2n-1)(2n+1),\] obtenemos la siguiente cota superior: \[A^2=\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdots 99^2}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2\cdots 100^2}\lt\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdots 99^2}{(1\cdot 3)\cdot (3\cdot 5)^2\cdots (97\cdot 99)\cdot 100^2}=\frac{99}{100^2}\lt\frac{1}{100},\] que equivale a la desigualdad de la derecha en el enunciado.

Nota. Las desigualdades \[(2n-1)^2\gt 2n(2n-2),\qquad (2n)^2\gt(2n-1)(2n+1),\] también pueden verse como desigualdades entre las medias aritmética y geométrica de dos pares o impares consecutivos.

Solución. Para $n=1$, tenemos que $1989=9\cdot 221= 3^2(10^2+11^2)=3^2(5^2+14^2)$. Para $n=2$, tenemos que \[1989^2=9^2\cdot 221^2= 9^2\cdot 48841=9^2(85^2+204^2)=9^2(104^2+195^2).\] De aquí el resultado es inmediato ya que basta multiplicar uno de estos dos números por el cuadrado perfecto $1989^{2n}=(1989^n)^2$ para obtener cualquier potencia de $1989$. Obviamente, los dos resultados obtenidos de las descomposiciones anteriores son distintos.

Solución. Si expresamos $14$ como producto de dos elementos de $\mathcal D$, tenemos \[14=(a+b\sqrt{-13})(c+d\sqrt{-13})=(ac-13bd)+(ac+bd)\sqrt{-13}.\] Separando en partes real e imaginaria, tenemos claramente que la factorización equivale a encontrar enteros $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ verificando el sistema \[(\star)\qquad \left\{\begin{array}{l}ac-13bd=14,\\ac+bd=0\end{array}\right.\] Tomando el módulo en la factorización, tenemos además que \[14^2=(a^2+13b^2)(c^2+13d^2),\] luego $a^2+13b^2$ y $c^2+13d^2$ tienen que ser divisores enteros positivos complementarios de $14^2=2^2\cdot 7^2$. Supongamos sin perder generalidad que $a^2+13b^2$ es el menor de los dos factores, luego tiene que ser igual a $1,2,4,7$ o $14$. Distingamos casos:

• Si $a^2+13b^2=1$, entonces necesariamente $a=\pm 1$ y $b=0$. Sustituyendo en el sistema $(\star)$ llegamos a que $c=\pm 14$ y $d=0$.
• Si $a^2+13b^2=2$, no hay solución.
• Si $a^2+13b^2=4$, entonces $a=\pm 2$ y $b=0$. Sustituyendo en el sistema $(\star)$ llegamos a que $c=\pm 7$ y $d=0$.
• Si $a^2+13b^2=7$, tampoco hay solución en este caso.
• Si $a^2+13b^2=14$, entonces $a=\pm 1$ y $b=\pm 1$.
  • Si $a=b=1$, el sistema $(\star)$ nos da $c=1$ y $d=-1$.
  • Si $a=1$ y $b=-1$, el sistema $(\star)$ nos da $c=d=1$.
  • Si $a=-1$ y $b=1$, el sistema $(\star)$ nos da $c=d=-1$.
  • Si $a=b=-1$, el sistema $(\star)$ nos da $c=-1$ y $d=1$.

En definitiva, tenemos las siguientes seis factorizaciones salvo ordenación de factores: \[1\cdot 14,\quad (-1)(-14),\quad 2\cdot 7,\quad (-2)(-7),\] \[(1+\sqrt{-13})(1-\sqrt{-13}),\quad (-1+\sqrt{-13})(-1-\sqrt{-13}).\]

Solución. El truco de este problema es en darse cuenta de que la expresión $(a-b)/(1+ab)$ es parecida a la de la tangente de la diferencia de dos ángulos. Si escribimos cada uno de los siete números iniciales como la tangente de un número en el intervalo $(-90,90)$, el problema equivale al siguiente: dados siete números en el intervalo $(-90,90)$, demostrar que siempre existen dos de ellos, $x$ e $y$, tales que $|\tan(x-y)|\lt \sqrt{3}/{3}$, es decir, $|x-y|\lt 30$. Dividiendo en seis subintervalos \[(-90,90)=(-90,-60]\cup(-60,-30]\cup(-30,0]\cup(0,30]\cup(30,60]\cup(60,-60),\] el principio del palomar nos asegura que al menos uno de ellos contendrá a dos de los siete números considerados y esos dos números verificarán la desigualdad $|x-y|\lt 30$.

Esto nos da también la pista sobre cómo definir seis números que no cumplan la propiedad ya que solo hay que tomar los puntos medios de los subintervalos anteriores (que distan exactamente $30$) y considerar sus tangentes. En definitiva, los seis números reales \begin{align*} &-\tan(75),&&-\tan(45),&&-\tan(15),\\ &\tan(15),&&\tan(45),&&\tan(75), \end{align*} no cumplen la propiedad del enunciado.