Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que la siguiente afirmación es cierta para $n=3$ y $n=5$ pero es falsa para cualquier otro entero $n\gt 2$:

Si $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son números reales arbitrarios, entonces \begin{align*} &(a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n)\\ &\quad +(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n)\\ &\quad +\ldots+(a_n-a_1)(a_n-a_3)\cdots(a_n-a_{n-1})\geq 0. \end{align*}

Sea $P_1$ un poliedro con nueve vértices $A_1,A_2,\ldots,A_9$. Definimos $P_i$ ($2\leq i\leq 9$) como el poliedro que se obtiene al aplicar una traslación a $P_1$ que envía el vértice $A_1$ al vértice $A_i$. Demostrar que al menos dos de los poliedros $P_1,P_2,\ldots,P_9$ tienen algún punto interior común.

Demostrar que el conjunto de enteros de la forma $2^k-3$, siendo $k\geq 2$ un entero, contiene un subconjunto infinito en el que dos elementos cualesquiera son primos relativos.

Todas las caras del tetraedro $ABCD$ son triángulos acutángulos. Consideremos todas las poligonales cerradas de la forma $XYZTX$ en las que $X,Y,Z,T$ son puntos interiores de las aristas $AB,BC,CD,DA$, respectivamente.

1. Si $\angle DAB+\angle BCD\neq \angle CDA+\angle ABC$, demostrar que entre todas las poligonales no hay ninguna de longitud mínima.
2. Si $\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC$, entonces hay una cantidad infinita de poligonales distintas de longitud mínima, siendo $2AC\,\mathrm{sen}(\alpha/2)$ dicha longitud mínima y $\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB$.

Demostrar que para cada entero positivo $m$ existe una conjunto finito $S$ de puntos del plano con la siguiente propiedad: para cada punto $P\in S$ hay exactamente $m$ puntos de $S$ a distancia uno de $P$.

Sea $A=(a_{ij})$ una matriz cuadrada ($1\leq i,j\leq n$) cuyos elementos son enteros no negativos. Supongamos que siempre que un elemento es cero, la suma de los elementos de su fila y su columna es mayor o igual que $n$. Demostrar que la suma de todos los elementos de la matriz es mayor o igual que $n^2/2$.