Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Lección 0. Números enteros e inducción matemática

Nuestra principal objeto de estudio son los números naturales, que son los números más sencillos (los que se usan para contar) y que denotaremos por \[\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,\ldots\}\] Así, $\mathbb{N}$ es un conjunto en el que se puede sumar y multiplicar, es decir, si sumamos o multiplicamos dos números naturales obtenemos otro número natural. El problema surge cuando queremos restar números naturales: por ejemplo $5-3$ es el número natural $2$ pero $3-5$ no puede ser ningún número natural. Se crea de esta forma la necesidad de ampliar nuestro conjunto de números a los enteros $\mathbb{Z}$, ampliación que consiste en añadir los opuestos de los naturales junto con el cero. Esto lo escribimos como \[\mathbb{Z}=\{\ldots,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\ldots\}.\] Aquí no termina la cosa pues, si bien ahora podemos sumar, restar y multiplicar números enteros y el resultado sigue siendo un número entero, no podemos dividir dos números enteros cualesquiera; por ejemplo $21:7=3$ ó $(-48):8=-6$ son números enteros pero $1:2$ no puede ser ningún número entero. Este impedimento vuelve a arreglarse considerando los números racionales o fraccionarios $\mathbb{Q}$, que son los números de la forma $\frac{a}{b}$, donde $a$ y $b$ son números enteros, que se llaman numerador y denominador de la fracción $\frac{a}{b}$ respectivamente. No obstante, no es posible que el denominador sea cero (no se puede dividir por cero), lo que nos lleva a excluirlo como denominador. Con mayor rigor matemático, esto se resume en la siguiente definición \[\mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b}:a,b\in\mathbb{Z},b\neq0\right\}\] (se lee: $\mathbb{Q}$ es el conjunto de los números de la forma $\frac{a}{b}$, donde $a$ y $b$ son números enteros y $b$ es distinto de cero). Observemos que $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$, es decir, los números naturales están contenidos en los números enteros que, a su vez, están contenidos en los números racionales. Es posible completar este esquema con conjuntos más grandes de números, como los números reales $\mathbb{R}$ ó los números complejos $\mathbb{C}$, pero el objetivo de esta sección se centra en $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$; concretamente en $\mathbb{N}$, de donde pueden obtenerse los demás mediante las cuatro operaciones básicas.

Es fácil darse cuenta de por qué este principio es cierto. Supongamos que un conjunto de números naturales $A$ cumple las condiciones (a) y (b) anteriores y cojamos un número natural: el $5$, por ejemplo. Para responder a la pregunta de si $5$ pertenece a $A$, razonamos como sigue: según (a) tenemos que $1\in A$, de que $1\in A$ deducimos que $2\in A$ usando ahora (b), volviendo a usar (b) (y como $2\in A$) tenemos que $3\in A$; usando (b) dos veces más tenemos que $4\in A$ y $5\in A$. Es obvio que este proceso se podría haber hecho con cualquier número natural en lugar de $5$, aunque hubiera sido más tedioso escribir todos los pasos.

La principal utilidad del principio de inducción es que nos permite demostrar una gran cantidad de propiedades concernientes a números naturales. Concretamente, si $P(n)$ es una afirmación para cada número natural $n$ y probamos que $P(1)$ es cierta y que si $P(k)$ es cierta también lo es $P(k+1)$, habremos probado que $P(n)$ es cierta para cualquier número natural $n$. Esto es consecuencia de tomar en el principio de inducción \ref{induccion} el conjunto $A$ como el conjunto de los números naturales $k$ para los que $P(k)$ es cierta. Veamos cómo se aplica todo esto con un ejemplo.

Conviene aquí resaltar que no es usual ni necesario especificar con tanto detalle las demostraciones en que se usa el método de inducción ni tampoco es necesario usar la variable genérica $n$ y cambiarla a otra variable $k$ cuando se pasa al caso concreto. La solución del problema anterior podría escribirse mucho más resumida pero igualmente válida de la siguiente manera.

Otro caso en el que vamos a usar el principio de inducción y que conviene destacar ahora es el cálculo de la suma de los términos de una progresión aritmética y de una progresión geométrica.

1. Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante (por ejemplo, la sucesión $1,5,9,13,17,\ldots$, donde la diferencia es $4$). Las progresiones aritméticas vienen determinadas por el término inicial y la diferencia: si el término inicial es $a_1$ y la diferencia es $d$, los siguientes términos serán $a_2=a_1+d$, $a_3=a_2+d=a_1+2d$, $a_4=a_3+d=a_1+3d$, etc,... y, en general, $a_n=a_1+(n-1)d$. La suma de los términos de esta sucesión está dada por \begin{eqnarray*} a_1+(a_1+d)+\ldots+(a_1+(n-1)d)&=&na_1+d(1+2+\ldots+(n-1))\\ &=&na_1+\frac{1}{2}dn(n-1), \end{eqnarray*} donde se ha usado la fórmula del ejercicio resuelto para $1+2+\ldots+n$.
2. Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, que se llama razón de la progresión (por ejemplo, la sucesión $1,2,4,8,16,\ldots$, donde la razón es $2$). Las progresiones geométricas vienen determinadas por el término inicial y la razón: si el término inicial es $a_1$ y la razón es $r$, los siguientes términos serán $a_2=ra_1$, $a_3=ra_2=r^2a_1$, $a_4=ra_3=r^3a_1$, etc,... y, en general, $a_n=r^{n-1}a_1$. La suma de los términos de esta sucesión está dada por \[a_1+ra_1+r^2a_1+\ldots+r^{n-1}a_1=a_1(1+r+r^2+\ldots+r^{n-1})=a_1\frac{r^n-1}{r-1}=\frac{a_{n+1}-a_1}{r-1},\] donde se ha usado la fórmula del apartado c del ejercicio propuesto anteriormente.