Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $a_1, a_2, a_3, \dots$ una sucesión infinita de enteros positivos mayores que $1$. Supongamos que para todo entero positivo $n$, el número $a_{n+1}$ es el menor entero positivo mayor que $a_n$ tal que $\operatorname{mcd}(a_{n+1}, a_i)\gt 1$ para todo $i \leq n$.

Demostrar que existen enteros positivos $c$ y $d$ tales que $a_n = cn + d$ para todo entero positivo $n$.

Sean $p$ un número primo y $n$ un entero positivo tales que $p$ no divide a $n$. Denotamos por $k$ al número de divisores positivos de $n$, y por $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_k = n$ los divisores positivos de $n$. Para cada $i = 1, 2, \dots, k$, sea $c_i$ el número de divisores positivos $\ell$ de $d_i^2$ que cumplen que $d_i - \ell$ es divisible por $p$. Demostrar que \[ (p - 1)(c_1 + c_2 + \cdots + c_k) \ge k^2. \]

Dado un entero positivo $n$, María comienza un juego con el número $1$ escrito en una pizarra. Tantas veces como quiera, María puede hacer lo siguiente: elegir un entero $j$ tal que $1\leq j\leq n$ y reemplazar un número $V$ que esté en la pizarra por el número $j\cdot R(\frac{V}{j})$.

En este contexto, $R(x)$ denota el entero más cercano a $x$; si $x$ está a la misma distancia de dos enteros consecutivos, $R(x)$ redondea hacia arriba. Por ejemplo, $R(1.3)=1$ y $R(1.5)=R(1.8)=2$.

1. Probar que, dado $n$ fijo, existe un entero positivo $B$ tal que María nunca puede escribir un número mayor que $B$ en la pizarra.
2. Para cualquier $n$, sea $f(n)$ el máximo número que puede escribir en la pizarra después de una cantidad finita de reemplazos. Demuestra que existe un entero positivo $N$ tal que para todo $n\geq N$, se tiene que $2026$ divide a $f(n)$.

Determina todos los enteros $d\geq 1$ con la siguiente propiedad: existen enteros positivos $a\neq b$ tales que $\operatorname{mcd}(a,b)=d$ y \[\frac{a^2+b^2}{a+b}\] es entero.

Un número entero $N$ se denomina ofémico si puede escribirse como $N=2(m^2+n^2)$ y también como $N=(m+n)^2+1$ para los mismos enteros $m$ y $n$. ¿Cuáles son los dos enteros ofémicos más cercanos a $2026$?