Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Encontrar todas las parejas de números primos $(p,q)$ con $p\gt q\gt 1$, tales que \[(p-q-1)^3+(p-q)^3+\ldots+(p-1)^3+p^3+\ldots+(p+q)^3+(p+q+1)^3=(3pq)^2.\]

Nota. El miembro de la izquierda de la igualdad tiene $2q+3$ sumandos, los cuales son cubos de números consecutivos.

Sean $b$ y $n$ enteros positivos con $b\geq 2$. Se define $s_b(n)$ como la suma de las cifras de $n$ expresado en base $b$. ¿Existe algún entero $n\geq 2$ tal que \[s_2(n)\geq s_3(n)\geq\ldots\geq s_{2025}(n)?\]

Nota. Las cifras de $n$ expresado en base $b$ son los números enteros $a_0,a_1,\ldots,a_k$ tales que $n=a_0+a_1b+a_2b^2+\ldots+a_kb^k$ con $a_k\neq 0$ y $0\leq a_i\leq b-1$ para todo $i\in\{0,1,\ldots,k\}$.

Hallar el mayor entero $n$ con la propiedad de que $n$ es divisible por todos los enteros positivos menores que $\sqrt[3]{n}$.

Demostrar que, dados enteros positivos $a$ y $b$ cualesquiera, el número $(36a+b)(a+36b)$ no puede ser una potencia de $2$.

Encontrar un número entero $n$, con $100 \leq n \leq 1997$, tal que $$\frac{2^n+2}{n}$$ también sea un número entero.