Lista de resultados del curso 2024-25
Movimientos rígidos (publicado el 13-2-2025)
Un movimiento del plano es una transformación que conserva las distancias. Lo interesante es que con esta descripción tan general hay muy pocos tipos de movimientos: traslaciones, rotaciones, simetrías axiales y deslizamientos (que son composición de una simetría axial y una traslación en la dirección del eje de simetría). Aplicar un movimiento puede ser intersante para resolver un problema porque los movimientos tienen muchas propiedades especiales:
Un movimiento del plano es una transformación que conserva las distancias. Lo interesante es que con esta descripción tan general hay muy pocos tipos de movimientos: traslaciones, rotaciones, simetrías axiales y deslizamientos (que son composición de una simetría axial y una traslación en la dirección del eje de simetría). Aplicar un movimiento puede ser intersante para resolver un problema porque los movimientos tienen muchas propiedades especiales:
- Conservan las distancias (por definición).
- Conservan los ángulos.
- Puntos alineados van a puntos también alineados.
- Rectas van a rectas y circunferencias a circunferencias.
- Dos rectas paralelas/perpendiculares van a dos rectas también paralelas/perpendiculares.
Recordemos además que dos figuras para las que se puede pasar de una a otra mediante un movimiento se llaman congruentes.
Ejercicio 1. Sea \(M\) un punto interior del segmento \(AB\). Se construyen cuadrados \(AMCD\) y \(BEHM\) en el mismo lado de \(AB\). Sea \(N\) el punto de intersección (distinto de \(M\)) de las circunferencias circunscritas a dichos cuadrados. Probar que los puntos \(B,N,C\) están alineados. Indicación: rotar con centro en \(M\). Ejercicio 2. Dado un triángulo \(OMA\), en los lados \(OM\) y \(OA\) se construyen cuadrados (en el exterior del triángulo) \(OXMY\) y \(OAUV\), respectivamente. Probar que el segmento \(XV\) mide el doble de la mediana trazada desde el vértice \(O\). Indicación: rotar con centro en \(O\). Ejercicio 3. Ejercicio 4. Consideremos dos triángulos equiláteros en el plano. ¿Cuántos movimientos hay que lleven el uno en el otro? Ejercicio 5. Demuestra que si aplicas sucesivamente dos simetrías axiales, obtienes una rotación si sus ejes se cortan y una traslación si sus ejes son paralelos.Factorización de polinomios enteros (publicado el 6-2-2025)
Todo polinomio de coeficientes enteros se puede factorizar de forma única como producto de polinomios irreducibles con coeficientes enteros (que la factorización es única debe entenderse salvo reordenar factores y cambiarlos de signo). Los factores de un tal polinomio \(p(x)\) se pueden encontrar siempre usando lo siguiente:
Todo polinomio de coeficientes enteros se puede factorizar de forma única como producto de polinomios irreducibles con coeficientes enteros (que la factorización es única debe entenderse salvo reordenar factores y cambiarlos de signo). Los factores de un tal polinomio \(p(x)\) se pueden encontrar siempre usando lo siguiente:
- Hallando las raíces racionales. Si una fracción irreducible $r=\frac{a}{b}$ cumple \(p(r)=0\), entonces \(a\) tiene que dividir al término independiente y \(b\) tiene que dividir al coeficiente líder de \(p(x)\). En tal caso, tendrmos que \(bx-a\) es un factor de \(p(x)\).
- Mediante coeficientes indeterminados. Por ejemplo, si queremos factorizar \(p(x)=x^4+2 x^3+x^2-1\), no encontraremos raíces racionales ya que \(p(\pm 1)\neq 0\), luego podemos intentar factorizarlo como producto de dos polinomios de grado \(2\), esto es,\[x^4+2 x^3+x^2-1=(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f).\] Como el coeficiente de \(x^4\) es \(1\) y el independiente es \(-1\), tendremos que \(ad=1\) y \(cf=-1\), luego podemos suponer (cambiando signos y orden si es necesario), que \(a=d=c=1\) y \(f=-1\), luego nos queda \[(x^2+bx+1)(x^2+ex-1)=x^4+(b+e)x^3+be x^2+(e-b) x-1.\]Identificando los coeficientes restantes, tenemos que \(b=1\) y \(e=-1\), luego hemos encontrado la factorización\[x^4+2 x^3+x^2-1=(x^2+x+1)(x^2+x-1).\]
Recta de Euler (publicado el 30-1-2025)
En un triángulo \(ABC\) cualquiera, el baricentro \(G\) está en el segmento de extremos el ortocentro \(H\) y el circuncentro \(O\). Además, se cumple que \(GH=2GO\). A la recta que pasa por estos tres puntos se le llama recta de Euler del triángulo. Ejercicio 1. Duplica el segmento \(AO\) para obtener un diámetro de la circunferencia circunscrita \(AD\) y observa que \(BD=2 OM\), siendo \(M\) el punto medio de \(AB\). Demuestra que \(CHBD\) es un paralelogramo y deduce que \(CH=2OM\), es decir, la distancia de un vértice al ortocentro es el doble que la del circuncentro al punto medio del lado opuesto. Ejercicio 2. Utilizando el ejercicio 1, demuestra que los triángulos \(CHG\) y \(GOM\) son semejantes con razón de semejanza \(\frac{1}{2}\) y demuestra con ello la propiedad de la recta de Euler. Ejercicio 3. Considera la homotecia de centro \(G\) y razón \(\frac{-1}{2}\). Demuestra que dicha homotecia lleva las alturas del triángulo \(ABC\) en sus mediatrices y deduce que, por tanto, lleva el ortocentro en el circuncentro, dando así otra demostración de la recta de Euler.
En un triángulo \(ABC\) cualquiera, el baricentro \(G\) está en el segmento de extremos el ortocentro \(H\) y el circuncentro \(O\). Además, se cumple que \(GH=2GO\). A la recta que pasa por estos tres puntos se le llama recta de Euler del triángulo. Ejercicio 1. Duplica el segmento \(AO\) para obtener un diámetro de la circunferencia circunscrita \(AD\) y observa que \(BD=2 OM\), siendo \(M\) el punto medio de \(AB\). Demuestra que \(CHBD\) es un paralelogramo y deduce que \(CH=2OM\), es decir, la distancia de un vértice al ortocentro es el doble que la del circuncentro al punto medio del lado opuesto. Ejercicio 2. Utilizando el ejercicio 1, demuestra que los triángulos \(CHG\) y \(GOM\) son semejantes con razón de semejanza \(\frac{1}{2}\) y demuestra con ello la propiedad de la recta de Euler. Ejercicio 3. Considera la homotecia de centro \(G\) y razón \(\frac{-1}{2}\). Demuestra que dicha homotecia lleva las alturas del triángulo \(ABC\) en sus mediatrices y deduce que, por tanto, lleva el ortocentro en el circuncentro, dando así otra demostración de la recta de Euler.
Combinatoria geométrica (publicado el 23-1-2025)
En ocasiones se nos plantea contar puntos, rectas, regiones, figuras, ... en una construcción geométrica. Para ello es útil encontrar una forma de poner en correspondencia los objetos que nos piden contar con los objetos que sabemos contar.
En ocasiones se nos plantea contar puntos, rectas, regiones, figuras, ... en una construcción geométrica. Para ello es útil encontrar una forma de poner en correspondencia los objetos que nos piden contar con los objetos que sabemos contar.
Por ejemplo, decimos que \(n\) rectas están en posición general cuando no hay dos paralelas ni tres que se corten en el mismo punto. Entonces, por cada pareja de rectas hay un único punto de intersección de las mismas, es decir, hay tantas intersecciones como parejas de rectas y calculamos así el número de intersecciones como \(\binom{n}{2}=\frac{1}{2}n(n-1)\).
Otra técnica que suele aplicarse a muchos casos es la inducción. Por ejemplo, en el caso anterior de las rectas en posición general, con \(n=1\) rectas tenemos \(0\) puntos de intersección y cuando añadimos la \(n\)-ésima recta, como esta corta a las \(n-1\) restantes, añade \(n-1\) intersecciones. De aquí es fácil ver que el número de intersecciones es \(1+2+3+\ldots+(n-1)=\frac{1}{2}n(n-1)\). Ejercicio 1. Dadas \(n\) rectas en posición general, ¿En cuántas regiones dividen al plano? ¿Cuántos triángulos se pueden encontrar cuyos lados estén contenidos en las rectas? Ejercicio 2. Se consideran \(n\) puntos sobre una circunferencia y se trazan todos los segmentos que unen estos puntos. Sabiendo que no hay tres segmentos que se corten en un mismo punto, ¿en cuántas regiones queda dividido el círculo interior? Ejercicio 3. Se considera un polígono convexo de \(n\) lados y se trazan todas sus diagonales. Si no hay tres diagonales que se corten en el mismo punto, ¿cuántos puntos de intersección tienen dichas diagonales? Ejercicio 4. En un triángulo se divide cada lado en \(n\) segmentos iguales y se une cada punto de la división mediante un segmentocon el vértice opuesto del triángulo. ¿Cuántos triángulos hay cuyos lados estén contenidos en las líneas de la figuta?
Racionalización (publicado el 16-1-2025)
En ocasiones hay expresiones algebraicas con radicales pueden reducirse para hacer desaparecer raíces o raíces de los denominadores y a este proceso se le llama racionalización. Por ejemplo, tenemos las siguientes igualdades:\[\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\]\[\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\sqrt{6}}{5}\]\[\sqrt{9+4\sqrt{5}}=2+\sqrt{5},\qquad \sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{2}-\sqrt{3}.\] Ejercicio 1. Demuestra las igualdades anteriores. Ejercicio 2. Encuentra \(a\) y \(b\) tales que \(\sqrt{7-2\sqrt{10}}=a\sqrt{2}+b\sqrt{5}\) Ejercicio 3. Racionaliza la fracción \(\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}\). Ejercicio 4. Racionaliza la fracción \(\frac{1}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}\).
En ocasiones hay expresiones algebraicas con radicales pueden reducirse para hacer desaparecer raíces o raíces de los denominadores y a este proceso se le llama racionalización. Por ejemplo, tenemos las siguientes igualdades:\[\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\]\[\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\sqrt{6}}{5}\]\[\sqrt{9+4\sqrt{5}}=2+\sqrt{5},\qquad \sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{2}-\sqrt{3}.\] Ejercicio 1. Demuestra las igualdades anteriores. Ejercicio 2. Encuentra \(a\) y \(b\) tales que \(\sqrt{7-2\sqrt{10}}=a\sqrt{2}+b\sqrt{5}\) Ejercicio 3. Racionaliza la fracción \(\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}\). Ejercicio 4. Racionaliza la fracción \(\frac{1}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}\).
Polinomios simétricos elementales (publicado el 9-1-2025)
Un polinomio simétrico es un polinomio de varias variables que no cambia si permutamos sus variables. Todo polinomio simétrico de dos variables \(x,y\) se expresa como combinación de los polinomios simétricos elementales suma \(x+y\) y producto \(xy\). Todo polinomio simétrico de tres variables se expresa como combinación de los polinomios simétricos elementales suma \(x+y+z\), producto dos a dos \(xy+yz+zx\) y producto \(xyz\). Esta idea se generaliza a cualquier número de variables.
Un polinomio simétrico es un polinomio de varias variables que no cambia si permutamos sus variables. Todo polinomio simétrico de dos variables \(x,y\) se expresa como combinación de los polinomios simétricos elementales suma \(x+y\) y producto \(xy\). Todo polinomio simétrico de tres variables se expresa como combinación de los polinomios simétricos elementales suma \(x+y+z\), producto dos a dos \(xy+yz+zx\) y producto \(xyz\). Esta idea se generaliza a cualquier número de variables.
Por ejemplo, podemos expresar en términos de los polinomios elementales\begin{align*}x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy\\x^2+y^2+z^2&=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\\x^3+y^3+z^3&=(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz.\end{align*}
Ejercicio 1. Expresar \(xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)\) en términos de los polinomios simétricos elementales de las variables \(x,y,z\). Ejercicio 2. Escribir los cuatro polinomios simétricos elementales de cuatro variables y escribir \(x^2+y^2+z^2+w^2\) y \(x^3+y^3+z^3+w^3\) en términos de ellos. Ejercicio 3. Si \(\alpha,\beta,\gamma\) son las soluciones de la ecuación \(x^3-3x^2+2x=2\), hallar el valor de \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}\) y de \(\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}\). Ejercicio 4. Encontrar todos los primos de la forma \(a^3+b^3+c^3-3abc\), siendo \(a,b,c\) números enteros positivos.Teorema de la bisectriz (publicado el 2-1-2025)
En un triángulo \(ABC\), supongamos que trazamos la bisectriz interior del ángulo \(A\) y corta a la recta \(BC\) en un punto \(P\). También trazamos la bisectriz exterior y corta a \(BC\) en un punto \(Q\). Entonces, se cumple que \[\frac{c}{b}=\frac{BP}{CP}=\frac{BQ}{CQ},\] es decir, ambas bisectrices cortan al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados correspondientes. Ejercicio 1. Demuestra que si una bisectriz y una mediana de un triángulo coinciden, entonces el triángulo es isósceles. Ejercicio 2. Demostrar que las área de los triángulos \(ABP\) y \(APC\) son proporcionales a \(c\) y \(b\) (fíjate en que tienen una altura de igual longitud) y deducir el teorema de la bisectriz. ¿Puedes adaptar esta misma idea para la bisectriz exterior? Ejercicio 3. Demostrar que para cualquier punto \(X\) de la recta \(BC\) se cumple que \[\frac{BX}{CX}=\frac{c\,\mathrm{sen}\,\angle BAX}{b\,\mathrm{sen}\,\angle XAC}.\] Deducir a partir de esto el teorema de la bisectriz. Ejercicio 4. Demostrar que \[AP=\frac{2bc\cos(\frac{A}{2})}{b+c}.\] ¿Puedes encontrar una fórmula similar para \(AQ\)?
En un triángulo \(ABC\), supongamos que trazamos la bisectriz interior del ángulo \(A\) y corta a la recta \(BC\) en un punto \(P\). También trazamos la bisectriz exterior y corta a \(BC\) en un punto \(Q\). Entonces, se cumple que \[\frac{c}{b}=\frac{BP}{CP}=\frac{BQ}{CQ},\] es decir, ambas bisectrices cortan al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados correspondientes. Ejercicio 1. Demuestra que si una bisectriz y una mediana de un triángulo coinciden, entonces el triángulo es isósceles. Ejercicio 2. Demostrar que las área de los triángulos \(ABP\) y \(APC\) son proporcionales a \(c\) y \(b\) (fíjate en que tienen una altura de igual longitud) y deducir el teorema de la bisectriz. ¿Puedes adaptar esta misma idea para la bisectriz exterior? Ejercicio 3. Demostrar que para cualquier punto \(X\) de la recta \(BC\) se cumple que \[\frac{BX}{CX}=\frac{c\,\mathrm{sen}\,\angle BAX}{b\,\mathrm{sen}\,\angle XAC}.\] Deducir a partir de esto el teorema de la bisectriz. Ejercicio 4. Demostrar que \[AP=\frac{2bc\cos(\frac{A}{2})}{b+c}.\] ¿Puedes encontrar una fórmula similar para \(AQ\)?
Máximo común divisor (publicado el 26-12-2024)
Para cualesquiera enteros \(a,b,q\), se cumple que \[\mathrm{mcd}(a,b)=\mathrm{mcd}(a,b-qa).\]Este truco es esencial para los problemas de aritmética ya que simplifica el cálculo del máximo común divisor. También da lugar al algoritmo de Euclides: \[\mathrm{mcd}(a,b)=\mathrm{mcd}(a,r),\]siendo \(r\) el resto de la división de \(b\) entre \(a\). Este proceso se puede reiterar para calcular \(\mathrm{mcd}(a,r)\) hasta llegar a una expresión de la forma \(\mathrm{mcd}(c,0)=c\), es decir, termina cuando el resto de la división es cero y el último resto no nulo es el máximo común divisor de los números originales. Ejercicio 1. Encuentra el máximo común divisor de tu DNI y el número 11741730. Ejercicio 2. Halla los valores de \(n\) para los que la fracción \(\frac{18n+5}{12n-3}\) es irreducible. Ejercicio 3. Si \(a_n=100+n^2\), halla el mayor valor posible de \(\mathrm{mcd}(a_n,a_{n+1})\). Ejercicio 4. Demuestra que \[\mathrm{mcd}(a^n-1,a^m-1)=a^{\mathrm{mcd}(m,n)}-1.\]
Para cualesquiera enteros \(a,b,q\), se cumple que \[\mathrm{mcd}(a,b)=\mathrm{mcd}(a,b-qa).\]Este truco es esencial para los problemas de aritmética ya que simplifica el cálculo del máximo común divisor. También da lugar al algoritmo de Euclides: \[\mathrm{mcd}(a,b)=\mathrm{mcd}(a,r),\]siendo \(r\) el resto de la división de \(b\) entre \(a\). Este proceso se puede reiterar para calcular \(\mathrm{mcd}(a,r)\) hasta llegar a una expresión de la forma \(\mathrm{mcd}(c,0)=c\), es decir, termina cuando el resto de la división es cero y el último resto no nulo es el máximo común divisor de los números originales. Ejercicio 1. Encuentra el máximo común divisor de tu DNI y el número 11741730. Ejercicio 2. Halla los valores de \(n\) para los que la fracción \(\frac{18n+5}{12n-3}\) es irreducible. Ejercicio 3. Si \(a_n=100+n^2\), halla el mayor valor posible de \(\mathrm{mcd}(a_n,a_{n+1})\). Ejercicio 4. Demuestra que \[\mathrm{mcd}(a^n-1,a^m-1)=a^{\mathrm{mcd}(m,n)}-1.\]
La desigualdad de Ptolomeo (publicado el 19-12-2024)
Dados cuatro puntos \(A,B,C,D\) en el plano o en el espacio, se cumple que\[AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+BC\cdot AD.\] Cuando los cuatro puntos están sobre una misma circunferencia (en ese orden), se tiene una igualdad en la desigualdad anterior. Esto se conoce como teorema de Ptolomeo: en un cuadrilátero cíclico el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos. Ejercicio 1. Dado un heptágono regular \(ABCDEFG\), demostrar que \[\frac{1}{AB}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AE}.\] Ejercicio 2. Un hexágono de lados \(2,7,11,7,2,11\) (en este orden) está inscrito en un círculo. Hallar el diámetro del círculo. Ejercicio 3. Dado un triángulo equilátero \(ABC\) en el plano, se considera un punto \(P\) tal que \(AP=2\) y \(BP=3\). Hallar el mayor valor posible de \(CP\).
Dados cuatro puntos \(A,B,C,D\) en el plano o en el espacio, se cumple que\[AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+BC\cdot AD.\] Cuando los cuatro puntos están sobre una misma circunferencia (en ese orden), se tiene una igualdad en la desigualdad anterior. Esto se conoce como teorema de Ptolomeo: en un cuadrilátero cíclico el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos. Ejercicio 1. Dado un heptágono regular \(ABCDEFG\), demostrar que \[\frac{1}{AB}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AE}.\] Ejercicio 2. Un hexágono de lados \(2,7,11,7,2,11\) (en este orden) está inscrito en un círculo. Hallar el diámetro del círculo. Ejercicio 3. Dado un triángulo equilátero \(ABC\) en el plano, se considera un punto \(P\) tal que \(AP=2\) y \(BP=3\). Hallar el mayor valor posible de \(CP\).
Inducción matemática (publicado el 12-12-2024)
Tenemos un enunciado que depende de un número natural \(n\). Si probamos que el enunciado es cierto para \(n=1\) y probamos que siempre que es cierto para un valor de \(n\) también es cierto para \(n+1\), entonces el enunciado es cierto para todo número natural. Ejercicio 1. Demostrar las siguientes fórmulas\begin{align*}1+2+3+\ldots+n&=\frac{n(n+1)}{2}\\1+4+9+\ldots+n^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\1+8+27+\ldots+n^3&=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\end{align*} Ejercicio 2. La sucesión de Fibonacci está definida por \(F_1=F_2=1\) y \(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\) para \(n\geq 2\). Demostrar que \[F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right).\] Ejercicio 3. Demostrar la fórmula del binomio de Newton:\[(x+y)^n=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+\ldots+\binom{n}{n}y^n.\]
Tenemos un enunciado que depende de un número natural \(n\). Si probamos que el enunciado es cierto para \(n=1\) y probamos que siempre que es cierto para un valor de \(n\) también es cierto para \(n+1\), entonces el enunciado es cierto para todo número natural. Ejercicio 1. Demostrar las siguientes fórmulas\begin{align*}1+2+3+\ldots+n&=\frac{n(n+1)}{2}\\1+4+9+\ldots+n^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\1+8+27+\ldots+n^3&=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\end{align*} Ejercicio 2. La sucesión de Fibonacci está definida por \(F_1=F_2=1\) y \(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\) para \(n\geq 2\). Demostrar que \[F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right).\] Ejercicio 3. Demostrar la fórmula del binomio de Newton:\[(x+y)^n=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+\ldots+\binom{n}{n}y^n.\]
Coloraciones (publicado el 5-12-2024)
Una forma muy creativa de encontrar un invariante en un problema es coloreándolo. Los colores nos pueden ayudar a encontrar patrones que de otra forma sería difícil ver. Colorea de distintos colores las casillas de los tableros para resolver los siguientes ejercicios: Ejercicio 1. ¿Para qué valores de \(n\) se puede rellenar una cuadrícula \(n\times n\) con fichas de tamaño \(3\times 1\)? ¿Y si usamos fichas \(6\times 1\)? ¿Y si usamos fichas \(4\times 1\)? Ejercicio 2. ¿Se puede rellenar un tablero de ajedrez \(8\times 8\) con fichas \(2\times 1\)? ¿Y si le quitamos las dos casillas de esquinas opuestas? Ejercicio 3. ¿Para qué valores de \(m\) y \(n\) se pueden recorrer todas las casillas de un tablero \(m\times n\), pasando de una casilla a otra adyacente, sin pasar dos veces por la misma casilla y terminando en la casilla que se empezó? Ejercicio 4. Un cierto suelo rectangular está completamente recubierto con ladrillos \(1\times 4\) y \(2\times 2\). En un cierto momento, se rompe un ladrillo de uno de los dos tipos y solo quedan ladrillos del otro tipo. ¿Es posible recolocar todos los ladrillos que no se han roto y añadir uno nuevo (del otro tipo) para volver a rellenar el suelo sin solapamientos?
Una forma muy creativa de encontrar un invariante en un problema es coloreándolo. Los colores nos pueden ayudar a encontrar patrones que de otra forma sería difícil ver. Colorea de distintos colores las casillas de los tableros para resolver los siguientes ejercicios: Ejercicio 1. ¿Para qué valores de \(n\) se puede rellenar una cuadrícula \(n\times n\) con fichas de tamaño \(3\times 1\)? ¿Y si usamos fichas \(6\times 1\)? ¿Y si usamos fichas \(4\times 1\)? Ejercicio 2. ¿Se puede rellenar un tablero de ajedrez \(8\times 8\) con fichas \(2\times 1\)? ¿Y si le quitamos las dos casillas de esquinas opuestas? Ejercicio 3. ¿Para qué valores de \(m\) y \(n\) se pueden recorrer todas las casillas de un tablero \(m\times n\), pasando de una casilla a otra adyacente, sin pasar dos veces por la misma casilla y terminando en la casilla que se empezó? Ejercicio 4. Un cierto suelo rectangular está completamente recubierto con ladrillos \(1\times 4\) y \(2\times 2\). En un cierto momento, se rompe un ladrillo de uno de los dos tipos y solo quedan ladrillos del otro tipo. ¿Es posible recolocar todos los ladrillos que no se han roto y añadir uno nuevo (del otro tipo) para volver a rellenar el suelo sin solapamientos?
(publicado el 28-11-2024)
Si más de \(nm\) palomas se colocan en \(n\) palomares, al menos uno de ellos tendrá más de \(m\) palomas. Ejercicio 1. ¿Cuántas veces hay que lanzar un dado para tener la seguridad de que el mismo resultado sale al menos cinco veces? Ejercicio 2. En una bolsa hay 10 bolas blancas, 10 bolas rojas y 10 bolas azules. ¿Cuántas hay que sacar sin mirar para que necesariamente hayan salido dos del mismo color? ¿Y dos de distinto color? ¿Y dos dos rojas? Ejercicio 3. Demuestra que en un grupo de 6 personas, siempre hay tres que se conocen entre sí o bien 3 tales que ninguna de ellas conoce a ninguna otra. Ejercicio 4. En un cuadrado de lado 10 se han colocado 101 puntos. Demuestra que hay tres de ellos que se pueden cubrir con un cuadrado de lado 1 Ejercicio 5. Dado un número natural \(n\), demuestra que \(n\) tiene un múltiplo que solo se escribe con ceros y unos en el sistema decimal.
Si más de \(nm\) palomas se colocan en \(n\) palomares, al menos uno de ellos tendrá más de \(m\) palomas. Ejercicio 1. ¿Cuántas veces hay que lanzar un dado para tener la seguridad de que el mismo resultado sale al menos cinco veces? Ejercicio 2. En una bolsa hay 10 bolas blancas, 10 bolas rojas y 10 bolas azules. ¿Cuántas hay que sacar sin mirar para que necesariamente hayan salido dos del mismo color? ¿Y dos de distinto color? ¿Y dos dos rojas? Ejercicio 3. Demuestra que en un grupo de 6 personas, siempre hay tres que se conocen entre sí o bien 3 tales que ninguna de ellas conoce a ninguna otra. Ejercicio 4. En un cuadrado de lado 10 se han colocado 101 puntos. Demuestra que hay tres de ellos que se pueden cubrir con un cuadrado de lado 1 Ejercicio 5. Dado un número natural \(n\), demuestra que \(n\) tiene un múltiplo que solo se escribe con ceros y unos en el sistema decimal.
Algunos cambios de variable interesantes (publicado el 21-11-2024)
Algunas ecuaciones polinómicas se pueden reducir considerablemente si empleamos el cambio de variable adecuado. Veamos algunos ejemplos (ver también los ejercicios):
Algunas ecuaciones polinómicas se pueden reducir considerablemente si empleamos el cambio de variable adecuado. Veamos algunos ejemplos (ver también los ejercicios):
- Algunas ecuaciones polinómicas se pueden reducir si todos los exponentes son múltiplos de un entero mayor o igual que \(2\). Por ejemplo, seguro que te suenan las bicuadradas:\[ax^4+bx^2+c=0\ \longleftrightarrow\ az^2+bz+c=0.\]
- Si los coeficientes del polinomio \(p(x)\) son los mismos empezando por el término de mayor grado o por el término independient, entonces hablamos de polinomios palindrómicos. Se cumple que \(p(x)=x^np(\frac{1}{x})\), donde \(n\) es el grado, lo que nos dice que si \(x\) es una solución de \(p(x)=0\), entonces también lo es \(\frac{1}{x}\). Si \(n=2d\) suele ser útil considerar el cambio \(z=x+\frac{1}{x}\); por ejemplo, ¿sabrías ver que estas dos ecuaciones son equivalentes: \[x^4-3x^3+2x-3x+1=0\ \longleftrightarrow\ z(z-3)=0?\]
- Una ecuación polinómica con dos variables es homogénea si todos los monomios tienen el mismo grado. Dividiendo por una de las dos variables elevada al grado de los monomios (razonando previamente el caso en que esta variable pueda ser cero), se consigue una ecuación con una sola variable. Por ejemplo:\[x^2y^2(x^2+y^2)=x^6+y^6\ \longleftrightarrow\ \left(\frac{x}{y}\right)^6-\left(\frac{x}{y}\right)^4-\left(\frac{x}{y}\right)^2+1.\]
Divisores de un número (publicado el 14-11-2024)
Si factorizamos un número natural \[n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}\] como producto de números primos \(p_1,\ldots,p_k\) con exponentes \(e_1,e_2,\ldots,e_k\), la suma de los divisores positivos de \(n\) se puede expresar como \[S=(1+p_1+p_1^2+\ldots+p_1^{e_1})(1+p_2+p_2^2+\ldots+p_2^{e_2})\cdots(1+p_k+p_k^2+\ldots+p_k^{e_k})\] puesto que cada divisor de \(n\) aparece como uno de los términos que resultan de desarrollar el producto anterior. Cada paréntesis es, además, la suma de los términos de una progresión geométrica, luego podemos reescribir \[S=\frac{p_1^{e_1+1}-1}{p_1-1}\frac{p_2^{e_2+1}-1}{p_2-1}\cdots\frac{p_k^{e_k+1}-1}{p_k-1}.\] Además, el número de divisores positivos de \(n\) es \[(e_1+1)(e_2+1)\cdots (e_k+1).\] Ejercicio 1. Calcula el número de divisores de \(2024\) y la suma de todos ellos. Ejercicio 2. Hallar un entero positivo que tenga \(60\) divisores, que su doble tenga \(80\) divisores, su tercera parte tenga \(48\) divisores y al multiplicarlo por \(25\) tenga \(90\) divisores. ¿Es único dicho número? Ejercicio 3. ¿Cuántas soluciones en los enteros mayores que \(1\) tiene la ecuación \(xyz=7^{39}\)? (OME-local 2003). Ejercicio 4. Un número se dice abundante cuando es menor que la suma de sus divisores, sin incluir al propio número entre ellos. Demostrar que todos los múltiplos de un número abundante son abundantes.
Si factorizamos un número natural \[n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}\] como producto de números primos \(p_1,\ldots,p_k\) con exponentes \(e_1,e_2,\ldots,e_k\), la suma de los divisores positivos de \(n\) se puede expresar como \[S=(1+p_1+p_1^2+\ldots+p_1^{e_1})(1+p_2+p_2^2+\ldots+p_2^{e_2})\cdots(1+p_k+p_k^2+\ldots+p_k^{e_k})\] puesto que cada divisor de \(n\) aparece como uno de los términos que resultan de desarrollar el producto anterior. Cada paréntesis es, además, la suma de los términos de una progresión geométrica, luego podemos reescribir \[S=\frac{p_1^{e_1+1}-1}{p_1-1}\frac{p_2^{e_2+1}-1}{p_2-1}\cdots\frac{p_k^{e_k+1}-1}{p_k-1}.\] Además, el número de divisores positivos de \(n\) es \[(e_1+1)(e_2+1)\cdots (e_k+1).\] Ejercicio 1. Calcula el número de divisores de \(2024\) y la suma de todos ellos. Ejercicio 2. Hallar un entero positivo que tenga \(60\) divisores, que su doble tenga \(80\) divisores, su tercera parte tenga \(48\) divisores y al multiplicarlo por \(25\) tenga \(90\) divisores. ¿Es único dicho número? Ejercicio 3. ¿Cuántas soluciones en los enteros mayores que \(1\) tiene la ecuación \(xyz=7^{39}\)? (OME-local 2003). Ejercicio 4. Un número se dice abundante cuando es menor que la suma de sus divisores, sin incluir al propio número entre ellos. Demostrar que todos los múltiplos de un número abundante son abundantes.
Semejanza y congruencia (publicado el 7-11-2024)
Dos figuras son congruentes cuando puede pasarse de una a la otra mediante un movimiento rígido (es decir, traslaciones, giros y simetrías, sin alterar su forma o tamaño). Para comprobar que dos triángulos son congruentes, podemos ver alguna de las siguientes propiedades equivalentes:
Dos figuras son congruentes cuando puede pasarse de una a la otra mediante un movimiento rígido (es decir, traslaciones, giros y simetrías, sin alterar su forma o tamaño). Para comprobar que dos triángulos son congruentes, podemos ver alguna de las siguientes propiedades equivalentes:
- Criterio LLL: tienen sus tres lados iguales
- Criterio LAL: tienen dos lados iguales y el ángulo que forman también igual.
- Criterio ALA: tienen un lado igual y los ángulos adyacentes también.
Dos figuras son semejantes cuando puede pasarse de una a la otra mediante traslaciones, giros, simetrías y homotecias (sin alterar su forma pero posiblemente sí su tamaño). Para comprobar que dos triángulos son semejantes, podemos ver alguna de las siguientes propiedades equivalentes:
- Criterio LLL: tienen sus tres lados proporcionales
- Criterio LAL: tienen dos lados proporcionales y el ángulo que forman igual.
- Criterio AAA: tienen los tres ángulos iguales.
Desigualdad de los cuadrados (publicado el 31-10-2024)
Una suma de cuadrados siempre es mayor o igual que cero, es decir, si \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) son números reales cualesquiera, entonces \[a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2\geq 0.\] Además la desigualdad es estricta salvo que \(a_1=a_2=\ldots=a_n=0.\) Ejercicio 1. Halla el valor mínimo de \(x^2+10x-13\) cuando \(x\) es un número real. Ejercicio 2. Demuestra las desigualdades entre las medias armónica, geométrica, aritmética y cuadrática de dos números \(x,y\gt 0\): \[\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\leq\sqrt{xy}\leq\frac{x+y}{2}\leq \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}.\] Ejercicio 3. Demuestra la desigualdad \[x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx.\]¿En qué casos se obtiene una igualdad? Ejercicio 4. Demostrar que la suma de un número positivo y su inverso es siempre mayor o igual que 2, es decir, \(x+\frac{1}{x}\geq 2\) para todo \(x\gt 0\). ¿Para qué valores de \(x\) es el resultado de esta operación igual a 2? ¿Qué podemos decir cuando \(x\lt 0\)?
Una suma de cuadrados siempre es mayor o igual que cero, es decir, si \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) son números reales cualesquiera, entonces \[a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2\geq 0.\] Además la desigualdad es estricta salvo que \(a_1=a_2=\ldots=a_n=0.\) Ejercicio 1. Halla el valor mínimo de \(x^2+10x-13\) cuando \(x\) es un número real. Ejercicio 2. Demuestra las desigualdades entre las medias armónica, geométrica, aritmética y cuadrática de dos números \(x,y\gt 0\): \[\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\leq\sqrt{xy}\leq\frac{x+y}{2}\leq \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}.\] Ejercicio 3. Demuestra la desigualdad \[x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx.\]¿En qué casos se obtiene una igualdad? Ejercicio 4. Demostrar que la suma de un número positivo y su inverso es siempre mayor o igual que 2, es decir, \(x+\frac{1}{x}\geq 2\) para todo \(x\gt 0\). ¿Para qué valores de \(x\) es el resultado de esta operación igual a 2? ¿Qué podemos decir cuando \(x\lt 0\)?