VI Seminario de Entrenamiento para la Olimpiada (2024-25)

Problemas de la semana

Problema 12 (nivel 1) (propuesto el 5-12-2024)
Sean \(a\), \(b\) y \(c\) números reales. Probar que, si \(x^3+ax^2+bx+c\) tiene tres raíces reales, entonces \(3b\leq a^2\).

Problema 11 (nivel 1) (propuesto el 5-12-2024)
Se tienen 2022 tarjetas numeradas dese 1 hasta 2022. Los números de las tarjetas son visibles todo el tiempo. Ana y Bárbara juegan tomando una tarjeta en cada turno hasta que se acaben, empezando por Ana. Cuando terminan de tomar todas las tarjetas, cada una suma los números de sus tarjetas y la que obtenga como resultado un número par gana el juego. Determinar qué jugadora tiene una estrategia para ganar siempre.

Problema 10 (nivel 1) (propuesto el 28-11-2024)
Encontrar todos los números naturales de tres dígitos tales que la suma de los cuadrados de los dígitos es un divisor de 26.

Problema 9 (nivel 2) (propuesto el 28-11-2024)
Sea \(p(x)\) un polinomio con coeficientes enteros tal que \[p(2018)p(2019) = 2021.\] Probar que no hay ningún entero \(k\) tal que \(p(k) = 2020\).

Indicación: Utiliza que si \(a\) y \(b\) son enteros, entonces \(a-b\) divide a \(p(a)-p(b)\). ¿Sabrías demostrar esta propiedad?

Lista de problemas 2024-25 (8)

Resultado de la semana

Coloraciones (publicado el 5-12-2024)
Una forma muy creativa de encontrar un invariante en un problema es coloreándolo. Los colores nos pueden ayudar a encontrar patrones que de otra forma sería difícil ver. Colorea de distintos colores las casillas de los tableros para resolver los siguientes ejercicios: Ejercicio 1. ¿Para qué valores de \(n\) se puede rellenar una cuadrícula \(n\times n\) con fichas de tamaño \(3\times 1\)? ¿Y si usamos fichas \(6\times 1\)? ¿Y si usamos fichas \(4\times 1\)? Ejercicio 2. ¿Se puede rellenar un tablero de ajedrez \(8\times 8\) con fichas \(2\times 1\)? ¿Y si le quitamos las dos casillas de esquinas opuestas? Ejercicio 3. ¿Para qué valores de \(m\) y \(n\) se pueden recorrer todas las casillas de un tablero \(m\times n\), pasando de una casilla a otra adyacente, sin pasar dos veces por la misma casilla y terminando en la casilla que se empezó? Ejercicio 4. Un cierto suelo rectangular está completamente recubierto con ladrillos \(1\times 4\) y \(2\times 2\). En un cierto momento, se rompe un ladrillo de uno de los dos tipos y solo quedan ladrillos del otro tipo. ¿Es posible recolocar todos los ladrillos que no se han roto y añadir uno nuevo (del otro tipo) para volver a rellenar el suelo sin solapamientos?

Lista de resultados 2024-25 (5)

Calendario de sesiones 2024-25

Se celebrarán sesiones de preparación dirigidas al alumnado seleccionado en los distintos concursos celebrados en la UJA. Aquí podrás encontrar información sobre las sesiones, enlaces y material relacionado, si lo hay.

Salón de Grados EPS 30/oct/24-17:00 Entrega de diplomas + INFO

Acto de entrega de diplomas presidido por Profº. Dª. María Teresa Pérez Giménez, Vicerrectora de Estudiantes y Empleabilidad de la Universidad de Jaén. Se convoca asimismo a las madres y padres de los/as premiados/as que quieran tener una reunión inicial sobre las sesiones de preparación. Se realizará una foto de grupo y también la charla inaugural " El juego de la vida de Conway" a cargo del Prof. D. José Miguel Manzano Prego.

Game of Life (Wikipedia) Aplicación

Aula B4-11 07/nov/24-16:30 Polinomios I
Prof. Samuel G. Moreno Relación de problemas

Aula B4-11 14/nov/24-16:00 Ángulos y circunferencias
Prof. José M. Manzano

Aula B4-E3 21/nov/24-16:30 Divisibilidad y congruencias
Prof. Javier Martínez

Aula B4-E3 28/nov/24-16:30 Técnicas de conteo
Prof. José M. Manzano

Aula B4-E3 12/dic/24-16:30 Ecuaciones funcionales
Prof. José S. Santiago

Aula B4-E3 19/dic/24-16:30 Puntos notables del triángulo
Prof. José M. Manzano

Aula C3-13 09/ene/25-16:30 Invariantes aritméticos
Prof. José M. Manzano

OME - FASE LOCAL (17 de enero)

Aula C3-13 23/ene/25-16:30 Polinomios II
Prof. Samuel G. Moreno

Aula C3-13 30/ene/25-16:30 Desigualdades
Prof. Julio Guerrero

Aula C3-13 06/feb/25-16:30 Aritmética II
Prof. Miguel Ángel García

Aula C3-13 13/feb/25-16:30 Geometría III
Prof. José S. Santiago

OME - FASE ANDALUZA (del 21 al 23 de febrero)

Aula C3-13 06/mar/25-16:30 Geometría IV
Prof. Ildefonso Castro

Aula C3-13 13/mar/25-16:30 Aritmética III
Prof. Miguel Ángel García

Aula C3-13 20/mar/25-16:30 Combinatoria III
Prof. Diego García

OME - FASE NACIONAL (del 27 al 30 de marzo)

Aula C3-13 03/abr/25-16:30 Problemas variados
Prof. José M. Manzano

Aula C3-13 10/abr/25-16:30 Problemas variados
Prof. José M. Manzano

Ideas para prepararte

Obtener la solución a un problema nos da una gran satisfacción porque hay siempre una idea bonita que aparece en nuestra cabeza y nos da el placer de haber hecho un pequeño descubrimiento. No debes olvidar que si participas en la olimpiada es porque sientes este placer y te diviertes mientras piensas. Por desgracia, en la educación secundaria se ha dejado de lado el resolver problemas y sólo se hacen ejercicios. Un ejercicio es lo que te piden justo después de explicarte algo y en el que sabes que necesitas ese algo para dar la solución, mientras que un problema es un reto en el que no sabes de antemano qué vas a tener que usar para resolverlo. Por ello, es conveniente haber visto antes otros problemas y saber de qué van los que te vas a encontrar en las olimpiadas. A continuación encontrarás algunas ideas que te pueden orientar en este proceso.

más info Resuelve problemas

La parte más importante de la preparación es haberse enfrentado a muchos problemas, tanto si salen como si no. Es importante aceptar de antemano que la mayoría no saldrán, pero es necesario intentarlos para comprender después dónde está la dificultad y qué es lo que "no se nos ha ocurrido". Busca problemas del nivel adecuado y dales más de una oportunidad. A veces no salen y más adelante sí.

más info Escribe tus ideas

Hay una diferencia muy grande entre lo que pensamos y lo que escribimos, porque nos exigimos más al escribir (posiblemente porque otros lo van a leer o porque no nos gusta plasmar algo de lo que no estamos totalmente seguros). Cuando tengas la solución a un problema, incluso estando casa, tómate el tiempo para escribirla porque ahí te darás cuenta de posibles errores y aprenderás más. Compártela con tu profesor/a u otros compañeros/as si es posible. No es necesario escribirlo todo con mucho rigor matemático, pero tiene que quedar claro lo que has pensado y los cálculos que has realizado. A veces no sabemos qué cosas explicar y qué cosas no, así que escribe como si fueras tú quien tuviera que leerlo varios años después y saber lo que pensaste.

más info Lee soluciones

Es normal encontrar manuales de preparación generales o sobre temas específicos y casi todos explican diversas técnicas matemáticas trabajando con problemas reales a modo ejemplo. También suelen incluirse soluciones a los problemas propuestos. Puede ayudarte mucho leer las soluciones después de haber pensado en profundidad sobre el problema (deberías intentarlos más de una vez antes de rendirte). Piensa que las "ideas felices" no son exclusivas de gente muy inteligente sino que también pueden entrenarse: haber visto una técnica concreta aplicada a un problema puede hacer que se te ocurra enfocar otro problema de forma parecida. Cuando leas soluciones, anota las ideas y resultados que consideres relevantes.

más info Recopila recursos

A veces vemos un problema y no tenemos ni idea de por dónde empezar. Es normal. Asegúrate de entender bien el enunciado y pregunta si no entiendes algún concepto o qué te están pidiendo. No obstante, es importante conocer recursos para tratar diversos problemas y no quedarse en blanco. Anota conceptos recurrentes y recopila distintos enfoques. Por ejemplo, es interesante saber varias formas de probar que un número divide a otro o que tres puntos están alineados.

más info No se puntúa en negativo

Por lo general, en la corrección de problemas de olimpiadas no se penaliza haber escrito algo mal (incluso alguna que otra burrada); simplemente a la hora de corregir se hace como si eso no estuviera. Por tanto, no te cortes en intentar distintos enfoques o dejar cosas en sucio, porque en ocasiones sí que puede haber algo que cuente en positivo. Prueba con ejemplos siempre que no sepas por dónde seguir y úsalos para realizar conjeturas razonables que puedan llevar a una solución. Aunque un ejemplo no es una demostración de un caso general, sí puede darte una pista para dicho caso general.

más info Evita frustrarte y diviértete

Incluso habiéndose preparado, es muy frecuente ver la hoja de problemas, pensar que son más difíciles de lo esperado y venirse abajo. Aunque sea un tópico, hay que pensar que son igual de difíciles para todo el mundo. No es necesario hacer todos los problemas (ni mucho menos) para alcanzar una buena posición en la mayoría de competiciones. Piensa que en muchas competiciones se dan premios (menciones honoríficas) por tener la puntuación máxima en algún problema, por lo que tienes que valorar si inviertes tu tiempo en algún problema concreto o lo repartes entre varios.

Recursos online

Página de la Olimpiada Matemática Española (donde pueden encontrarse los problemas y soluciones de las fases local y nacional de años anteriores)
Página de preparación y problemas (mantenida por J.M. Manzano)
The Art of Problem Solving (foro en el que se plantean y discuten soluciones de problemas de diferentes competiciones nacionales e internacionales).