Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Veamos que la respuesta es negativa, razonando por reducción al absurdo. Si $a^2+b$ es un cuadrado perfecto, como es mayor que $a^2$, tendrá que ser $a^2+b\geq (a+1)^2$, de donde $b\geq 2a+1$. De la misma forma, si $b^2+a$ es un cuadrado perfecto, tendremos que $a\geq 2b+1\geq 4a+3\gt a$, lo cual es una contradicción.

Solución. En cada lado del polígono dibujamos un rectángulo con base dicho lado y altura $A/P$ hacia el interior del polígono. La suma de las áreas de todos los rectángulos será igual a $P\cdot(A/P)=A$, pero el área total que cubren es menor que $A$ dado que los rectángulos se superponen unos con otros cerca de los vértices del polígono. En otras palabras, los rectángulos no cubren todo el polígono, luego existirá un punto $p$ del interior del polígono no cubierto por ningún rectángulo. La distancia de $p$ a cualquiera de los lados es mayor que $A/P$ por no pertenecer a ningún rectángulo, luego el círculo de radio $A/P$ centrado en $p$ está contenido en el interior del polígono.

Nota. ¿Qué podría fallar en este argumento si el polígono no es convexo?

Solución. Empezamos colocando un círculo de radio menor que $\frac{1}{100}$ centrado en cada punto del conjunto. Si dos círculos de diámetros $d_1$ y $d_2$ están a distancia menor que $1$, entonces están contenidos entonces están contenidos en otro círculo de diámetro menor que $d_1+d_2+1$ (cuyo centro está alineado con los centros de los círculos originales). Entonces, si sustituimos los dos círculos por el más grande, incrementamos el diámetro en una unidad. Mientras haya círculos a distancia menor que $1$ realizamos esta operación y, como en cada paso hay un círculo menos, usaremos la operación un máximo número de 99 veces (en tal caso quedaría un solo círculo). Por tanto, habremos incrementado la suma de diámetros en un máximo de $99$ unidades. La suma de diámetros totales será, tras todo el proceso, menor que $100$.