Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un triángulo acutángulo $ABC$, supongamos que $AH$ es la altura de mayor longitud, siendo $H$ el pie de dicha altura en el lado $BC$. Sea $M$ es el punto medio de $AC$ y $D$ la intersección de la bisectriz interior del ángulo $C$ con el lado $AB$.

1. Si $AH\leq BM$, demostrar que $\angle ABC\leq 60^\circ$.
2. Si $AH=BM=CD$, demostrar que $ABC$ es equilátero.

Los dígitos de un entero positivo se reordenan y el número resultante se suma al original.

1. Demostrar que el resultado no puede ser $999\ldots 9$ con exactamente $1999$ nueves.
2. Si el resultado es $10^{10}$, demostrar que el número original es múltiplo de $10$.

Cuatro faros se colocan en cuatro puntos del plano, cada uno de los cuales tiene una luz fija que alumbra un ángulo de $90^\circ$. Demostrar que las luces pueden rotarse de forma que desde cualquier punto del plano al menos una de ellas es visible.

Demuestra que existe un número divisible por $5^{1000}$ que no tiene ningún dígito igual a $0$.

Cuatro faros se colocan en cuatro puntos del plano, cada uno de los cuales tiene una luz fija que alumbra un ángulo de $90^\circ$. Demostrar que las luces pueden rotarse de forma que desde cualquier punto del plano al menos una de ellas es visible.

Los dígitos de un entero positivo se reordenan y el número resultante se suma al original.

1. Demostrar que el resultado no puede ser $999\ldots 9$ con exactamente $1999$ nueves.
2. Si el resultado es $10^{10}$, demostrar que el número original es múltiplo de $10$.

En un triángulo acutángulo $ABC$, supongamos que $AH$ es la altura de mayor longitud, siendo $H$ el pie de dicha altura en el lado $BC$. Sea $M$ es el punto medio de $AC$ y $D$ la intersección de la bisectriz interior del ángulo $C$ con el lado $AB$.

1. Si $AH\leq BM$, demostrar que $\angle ABC\leq 60^\circ$.
2. Si $AH=BM=CD$, demostrar que $ABC$ es equilátero.

Encontrar todos los enteros $x$ e $y$ que cumplen \[x^2+x=y^4+y^3+y^2+y.\]

Determinar el mayor valor de $n$ para el que existe una sucesión $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ de números naturales, todos ellos menores que $1998$ y de forma que $x_i=|x_{i-1}-x_{i-2}|$ para todo $3\leq i\leq n$.

Cuatro faros se colocan en cuatro puntos del plano, cada uno de los cuales tiene una luz fija que alumbra un ángulo de $90^\circ$. Demostrar que las luces pueden rotarse de forma que desde cualquier punto del plano al menos una de ellas es visible.

En un tablero de ajedrez $1000\times 1000$ se encuentran colocadas $499$ torres blancas y un rey negro. No se permite comer piezas y el rey puede estar en posición de jaque. Independientemente de las posiciones iniciales y de los movimientos de las blancas, el rey siempre puede conseguir tras un número finito de movimientos:

1. estar en jaque;
2. quedarse siempre en jaque tras moverse;
3. quedarse siempre en jaque incluso después de mover las blancas.

Demostrar o refutar cada una de las afirmaciones (a), (b) y (c).

Sea $ABCD$ un cuadrado de lado la unidad. Un vértice de un rombo está en el lado $AB$, otro en el lado $BC$ y un tercero en el lado $AD$. Encontrar el área del conjunto de todas las posibles localizaciones del cuarto vértice.

Un entero positivo $k$ tiene la propiedad de que si $k$ divide a otro entero positivo $n$, entonces también divide al número que resulta de invertir el orden de los dígitos de $n$. Demostrar que $k$ tiene que ser un divisor de $99$.