Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $AB$ el diámetro de una circunferencia $\Gamma$ y $C$ un punto sobre $AB$. Construir dos puntos $X$ e $Y$ en $\Gamma$ simétricos respecto de $AB$ y tales que $YC$ es perpendicular a $XA$.

El producto de tres números positivos es igual a $1$ y su suma es mayor que la suma de sus inversos. Demostrar que solo uno de los números es mayor que $1$.

¿Cuál es el mayor valor de $n$ para el que, en un polígono regular de $n$ lados, la longitud del lado es igual a la longitud de la diagonal más larga?

A un número de diecisiete cifras le sumamos el número que resulta al invertir el orden de sus cifras. Demostrar que el resultado tiene, al menos, una cifra par.

Una casa tiene forma de triángulo equilátero de lado 10 y se subdivide en 100 habitaciones, todas ellas triángulos equiláteros de lado 1. Cada pared que separa dos de las habitaciones tiene una puerta. Si hacemos un recorrido por la casa sin pasar más de una vez por cada puerta, demostrar que a lo sumo recorremos 91 habitaciones.

Si la casa tiene lado $k$ y se subdivide en $k^2$ triángulos equiláteros de lado $1$, determinar, en función de $k$, el número máximo de habitaciones que podemos recorrer sin atravesar dos veces por la misma puerta.

Se tienen cinco segmentos tales que cualesquiera tres de ellos se pueden usar para formar un triángulo. Demostrar que al menos uno de dichos triángulos es acutángulo.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y supongamos que la bisectriz $AD$, la mediana $BM$ y la altura $CH$ concurren en un punto. Demostrar que $\angle BAC\gt 45^\circ$.

Una casa tiene forma de triángulo equilátero de lado 10 y se subdivide en 100 habitaciones, todas ellas triángulos equiláteros de lado 1. Cada pared que separa dos de las habitaciones tiene una puerta. Si hacemos un recorrido por la casa sin pasar más de una vez por cada puerta, demostrar que a lo sumo recorremos 91 habitaciones.

Si la casa tiene lado $k$ y se subdivide en $k^2$ triángulos equiláteros de lado $1$, determinar, en función de $k$, el número máximo de habitaciones que podemos recorrer sin atravesar dos veces por la misma puerta.

Tenemos cinco listas de $n$ dígitos iguales a 0 o 1. Se sabe que cada pareja de números tiene los mismos dígitos en exactamente en $m$ posiciones, pero no hay ninguna de las posiciones en la que las cinco listas tengan el mismo dígito. Demostrar que $\frac{2}{5}\leq\frac{m}{n}\leq\frac{3}{5}$.

Probar que de entre 200 enteros siempre se pueden elegir 100 cuya suma sea múltiplo de 100.