Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un rectángulo y sean $M$ el punto medio de $AD$ y $N$ el punto medio de $BC$. Sea $P$ un punto del plano tal que $D$ está en el segmento $CP$ y supongamos que la semirrecta $PM$ corta a $AC$ en un punto $Q$. Demostrar que la recta $MN$ es la bisectriz del ángulo $\angle PNQ$.

Dados $50$ segmentos en una misma recta, demostrar que se siempre se pueden encontrar o bien 8 de ellos que son disjuntos dos a dos, o bien 8 de ellos con un punto en común.

Encontrar el mayor entero $n$ tal que $4^{27}+4^{1000}+4^n$ es un cuadrado perfecto.

Consideremos nueve rectas, cada una de las cuales divide a un cuadrado en dos cuadriláteros de áreas $\frac{2}{5}$ y $\frac{3}{5}$ del área del cuadrado. Demostrar que tres de las rectas son concurrentes.

Un heptágono está inscrito en una circunferencia cuyo centro cae en el interior del heptágono. Demostrar que la suma de los ángulos interiores de tres vértices consecutivos del heptágono es siempre menor que $450^\circ$.

Tenemos el valor absoluto de una resta de dos números de cuatro dígitos \[|\square\square\square\square-\square\square\square\square|.\] Dos personas juegan por turnos colocando dígitos en los cuadraditos hasta rellenarlos todos tras 4 turnos de ambos. Demostrar que la primera persona puede jugar para conseguir que el resultado sea al menos $4000$ y el segundo jugador puede jugar para que el resultado sea a lo sumo $4000$.

Supongamos que $a,b,m,n$ son enteros positivos con $a\gt 1$.

1. Demostrar que, si $a^m+1$ divide a $a^n+1$, entonces $m$ divide a $n$.
2. Demostrar que, si $a$ y $b$ son primos relativos y $a^m+b^m$ divide a $a^n+b^n$, entonces $m$ divide a $n$.

Una sucesión de conjuntos finitos $\{S_n\}$ se define como sigue. En primer lugar, $S_0=\{m\}$ para cierto entero $m\gt 1$. Ahora, supuesto que hemos definido $S_n$ para $n\geq 0$, definimos \[S_{n+1}=\{k^2:k\in S_n\}\cup\{k+1:k\in S_n\}.\] Demostrar que $S_n$ tiene exactamente $2^n$ elementos.

Encontrar el mayor entero $n$ tal que $4^{27}+4^{1000}+4^n$ es un cuadrado perfecto.

Dibujamos una cierta cantidad de cuadrados en una hoja de papel cuya suma de áreas es $1$. Demostrar que, si recortamos los cuadrados, podemos colocarlos dentro de otro cuadrado de área $2$ sin que haya solapamientos.

Para cualesquiera números reales positivos $x$ e $y$, definimos $f(x,y)$ como el menor de los números $x,\frac{1}{y},y+\frac{1}{x}$. Determinar el máximo valor que puede tomar $f(x,y)$ y cuáles son los valores de $x$ e $y$ que realizan dicho máximo.

Sea $P$ un polígono convexo y $X$ un punto interior tal que para cualquiera dos vértices $A$ y $B$ de $P$, el triángulo $XAB$ es isósceles. Demostrar que todos los vértices de $P$ están sobre un mismo círculo de centro $X$.

¿Es posible rellenar todas las casillas de un tablero $100\times 100$ con dígitos $0$, $1$ o $2$ de forma que cualquier rectángulo $3\times 4$ o $4\times 3$ contenga exactamente tres ceros, cuatro unos y cinco doses?

Supongamos que $a,b,m,n$ son enteros positivos con $a\gt 1$.

1. Demostrar que, si $a^m+1$ divide a $a^n+1$, entonces $m$ divide a $n$.
2. Demostrar que, si $a$ y $b$ son primos relativos y $a^m+b^m$ divide a $a^n+b^n$, entonces $m$ divide a $n$.

Una sucesión de conjuntos finitos $\{S_n\}$ se define como sigue. En primer lugar, $S_0=\{m\}$ para cierto entero $m\gt 1$. Ahora, supuesto que hemos definido $S_n$ para $n\geq 0$, definimos \[S_{n+1}=\{k^2:k\in S_n\}\cup\{k+1:k\in S_n\}.\] Demostrar que $S_n$ tiene exactamente $2^n$ elementos.

Sea $O$ el punto de intersección de las diagonales de un cuadrilátero convexo $ABCD$. Demostrar que la recta que une los circuncentros de los triángulos $ABO$ y $CDO$ es perpendicular a la recta que une los ortocentros de $BCO$ y $ADO$.

Dibujamos una cierta cantidad de cuadrados en una hoja de papel cuya suma de áreas es $1$. Demostrar que, si recortamos los cuadrados, podemos colocarlos dentro de otro cuadrado de área $2$ sin que haya solapamientos.

Consideremos nueve rectas, cada una de las cuales divide a un cuadrado en dos cuadriláteros de áreas $\frac{2}{5}$ y $\frac{3}{5}$ del área del cuadrado. Demostrar que tres de las rectas son concurrentes.

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ reales positivos cuya suma es $1$ y definimos \[s=\max\left\{\frac{x_1}{1+x_1},\frac{x_2}{1+x_1+x_2},\ldots,\frac{x_n}{1+x_1+x_2+\ldots+x_n}\right\}.\] Determinar el menor valor que puede tomar $s$ y hallar los valores de los números que realizan dicho mínimo.

En un cierto torneo compiten $n$ equipos. Cada uno de ellos juega contra todos los demás sólo una vez. En cada uno de tales enfrentamientos, un equipo se lleva $2$ puntos si gana, $1$ si empata y $0$ si pierde. Supongamos que para cualquier conjunto $S$ de equipos se puede encontrar un equipo (no necesariamente de $S$) tal que la suma de sus puntos en todos los enfrentamientos con equipos de $S$ es impar. Demostrar que $n$ es par.