Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que \[\frac{(\mathrm{mcm}(a,b,c))^2}{\mathrm{mcm}(a,b)\,\mathrm{mcm}(b,c)\,\mathrm{mcm}(c,a)}=\frac{(\mathrm{mcd}(a,b,c))^2}{\mathrm{mcd}(a,b)\,\mathrm{mcd}(b,c)\,\mathrm{mcd}(c,a)}\] para cualesquiera enteros positivos $a,b,c$.

Un tetraedro $ABCD$ verifica $AB=CD$, $AC=BD$ y $AD=BC$. Demostrar que sus caras son triángulos acutángulos.

Un generador de números aleatorios elige con la misma probabilidad uno de los nueve dígitos $1, 2,\ldots, 9$. Hallar la probabilidad de que después de generar $n$ números, su producto sea divisible por $10$.

Hallar números enteros $a,b,c,d,e,f$ tales que \[\left|\frac{aR^2+bR+c}{dR^2+eR+f}-\sqrt[3]{2}\right|\lt |R-\sqrt[3]{2}|\] se cumpla para todo número racional no negativo $R$.

Un pentágono convexo $ABCDE$ tiene la propiedad de que el área de cada uno de los cinco triángulos $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$ y $EAB$ es uno. Demostrar qeu todos los pentágonos con esta propiedad tienen la misma área y calcularla. Demostrar, además, que hay una cantidad infinita de pentágonos no congruentes con dicha propiedad.