Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Sea $p$ un número primo y consideremos los exponentes enteros $x,y,z\geq 0$ de $p$ en la descomposición en factores primos de $a,b,c$, respectivamente. Podemos suponer además que $x\leq y\leq z$ sin perder generalidad. El exponente de $p$ en $(\operatorname{mcm}(a,b,c))^2$ es $2z$ y en $\operatorname{mcm}(a,b)\operatorname{mcm}(b,c)\operatorname{mcm}(c,a)$ es $y+2z$, luego este exponente en la fracción de la izquierda es $-y$. Por su parte, el exponente de $p$ en $(\operatorname{mcd}(a,b,c))^2$ es $2x$ y en $\operatorname{mcd}(a,b)\operatorname{mcd}(b,c)\operatorname{mcd}(c,a)$ es $2x+y$, luego en la fracción de la derecha vuelve a ser $-y$. Repitiendo esto para todo primo $p$ deducimos que ambas fracciones coinciden.

Solución. Hay $9^n$ casos posibles ya que se elige $n$ veces un número del $1$ al $9$ de forma independiente. Hay $5^n$ de ellas en las que no hay ningún factor par, lo que se corresponde con elegir $n$ veces uno de los cinco números impares. También hay $8^n$ de ellas en las que no hay ningún factor $5$. Finalmente, hay $4^n$ de ellas en las que no hay factores pares ni $5$. Utilizando el principio de inclusión-exclusión, tenemos que hay $9^n-2^n-8^n+4^n$ en las que hay necesariamente algún factor par y algún factor $5$. Por lo tanto, la probabilidad que nos piden es \[\frac{9^n-2^n-8^n+4^n}{9^n}.\]

Nota. Recordemos que la probabilidad se calcula como casos favorables entre casos posibles si todos ellos son equiprobables.