Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Tenemos $14$ monedas que parecen iguales pero solo algunas de ellas son auténticas y el resto falsas. Todas las auténticas pesan lo mismo y todas las falsas pesan lo mismo (un poco menos que las auténticas). Sospechamos que 7 son auténticas y 7 son falsas. ¿Cómo podríamos comprobar si nuestras sospechas son ciertas con solo tres pesadas de una balanza?

Demostrar que un número de 9 dígitos (en el sistema decimal ), todos ellos distintos y distintos de cero, que no es múltiplo de $5$, no puede ser un cuadrado perfecto.

Dados $n\gt 4$ puntos, demostrar que se puede colocar una flecha entre cada par de puntos de forma que se puede viajar desde cualquier punto a cualquier otro siguiendo un máximo de dos flechas (en el sentido indicado por dichas flechas).

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D,E,F$ los punto simétrico de $A,B,C$ respecto de los lados opuestos $BC,CA,AB$, respectivamente. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $DBC$, $ECA$ y $FAB$ concurren en un punto y que las rectas $AD$, $BE$ y $CF$ también concurren en un punto.

En una reunión hay $n$ personas que no se conocen y llega otra persona que las conoce a todas. Demostrar que esta nueva persona puede presentar a algunas de ellas entre sí de forma que después cada una de las $n$ personas originales conozca a un número distinto de personas del grupo de $n+1$ personas.

Un rey se mueve en el tablero de ajedrez $8\times 8$ de la forma usual (una casilla en cada turno en dirección paralela a los ejes del tablero o en diagonal). Este rey realiza un circuito completo por el tablero empezando y terminando en la misma casilla después de recorrer todas las casillas una única vez. Además, si dibujamos la trayectoria del rey uniendo los centros de las casillas consecutivas que visita, vemos que la trayectoria no se autointerseca.

1. Demostrar que el rey ha hecho al menos 28 movimientos paralelos a los ejes.
2. Demostrar que hay trayectos tales con exactamente 28 movimientos paralelos a los ejes.
3. Si el tablero tiene lado $8$, hallar las distancias máxima y mínima que puede haber recorrido el rey.

Tenemos $14$ monedas que parecen iguales pero solo algunas de ellas son auténticas y el resto falsas. Todas las auténticas pesan lo mismo y todas las falsas pesan lo mismo (un poco menos que las auténticas). Sospechamos que 7 son auténticas y 7 son falsas. ¿Cómo podríamos comprobar si nuestras sospechas son ciertas con solo tres pesadas de una balanza?

Supongamos que las rectas $OA$ y $OB$ son tangentes a una circunferencia en los puntos $A$ y $B$. La paralela a $OB$ que pasa por $A$ corta a la circunferencia de nuevo en el punto $C$ y la recta $OC$ corta de nuevo a la circunferencia en $E$. Si la semirrecta $AE$ corta a la recta $OB$ en $K$, demostrar que $K$ es el punto medio de $OB$.

Consideremos el polinomio $p(x)=ax^2+bx+c$ con coeficientes reales y supongamos que $|p(x)|\leq 1$ siempre que $|x|\leq 1$. Demostrar que la desigualdad $|cx^2+bx+a|\leq 1$ también es cierta cuando $|x|\leq 1$.

En un torneo juegan $1024$ equipos de forma que el ganador de cada enfrentamiento pasa a la siguiente fase y el perdedor es eliminado. Hay $512$ enfrentamientos en la primera fase de la eliminatoria, $256$ en la segunda fase, $128$ en la tercera, y así sucesivamente. Los equipos están numerados con los números del $1$ al $1024$ y sabemos que si el equipo $n$ juega contra el equipo $m\lt n-2$, entonces $m$ siempre gana. ¿Cuál es el mayor número que puede tener el equipo que resulta ganador de la eliminatoria?

Un triángulo de área $1$ tiene lados $a\leq b\leq c$. Demostrar que $b^2\geq 2$.

Un polígono convexo de $n$ lados no tiene ningún par de lados paralelos. Dado un punto $P$ en el interior del polígono, demostrar que hay a lo sumo $n$ rectas que pasan por $P$ y que lo dividen en dos polígonos de la misma área.

Un rey se mueve en el tablero de ajedrez $8\times 8$ de la forma usual (una casilla en cada turno en dirección paralela a los ejes del tablero o en diagonal). Este rey realiza un circuito completo por el tablero empezando y terminando en la misma casilla después de recorrer todas las casillas una única vez. Además, si dibujamos la trayectoria del rey uniendo los centros de las casillas consecutivas que visita, vemos que la trayectoria no se autointerseca.

1. Demostrar que el rey ha hecho al menos 28 movimientos paralelos a los ejes.
2. Demostrar que hay trayectos tales con exactamente 28 movimientos paralelos a los ejes.
3. Si el tablero tiene lado $8$, hallar las distancias máxima y mínima que puede haber recorrido el rey.

Sea $p(x)=ax^2+bx+c$ un polinomio de segundo grado tal que la ecuación $p(x)=x$ no tiene raíces reales. Demostrar que la ecuación $p(p(x))=0$ tampoco tiene raíces reales.

Supongamos que las rectas $OA$ y $OB$ son tangentes a una circunferencia en los puntos $A$ y $B$. La paralela a $OB$ que pasa por $A$ corta a la circunferencia de nuevo en el punto $C$ y la recta $OC$ corta de nuevo a la circunferencia en $E$. Si la semirrecta $AE$ corta a la recta $OB$ en $K$, demostrar que $K$ es el punto medio de $OB$.

En una cuadrícula infinita se colorean de negro $n$ cuadrados y el resto se deja en blanco. A cada segundo que pasa, el color de cada cuadrado $C$ cambia al color mayoritario de entre tres cuadrados: el propio $C$, el cuadrado que está justo encima de $C$ y el que está justo a la derecha de $C$. Demostrar que todos los cuadrados serán blancos transcurridos $n$ segundos.

Sean $a,b,c,d,e$ números reales positivos. Demostrar que \[(a+b+c+d+e)^2\geq 4(ab+bc+cd+de+ea).\]

Dados cuatro puntos no coplanarios en el espacio, ¿cuántos paralelepípedos podemos encontrar con los cuatro puntos como vértices?

Un rey se mueve en el tablero de ajedrez $8\times 8$ de la forma usual (una casilla en cada turno en dirección paralela a los ejes del tablero o en diagonal). Este rey realiza un circuito completo por el tablero empezando y terminando en la misma casilla después de recorrer todas las casillas una única vez. Además, si dibujamos la trayectoria del rey uniendo los centros de las casillas consecutivas que visita, vemos que la trayectoria no se autointerseca.

1. Demostrar que el rey ha hecho al menos 28 movimientos paralelos a los ejes.
2. Demostrar que hay trayectos tales con exactamente 28 movimientos paralelos a los ejes.
3. Si el tablero tiene lado $8$, hallar las distancias máxima y mínima que puede haber recorrido el rey.