Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
VIII All-Soviet-Union Mathematical Competitions — 1974
Sesión 1 — Nivel 8 (primer día)
Problema 2171
ASU, 1974-P1
Se tienen $n$ cartas numeradas con los enteros del $1$ al $n$. Cada carta tiene escrito un $1$ o un $-1$ en el reverso.
- Se permite preguntar el producto de tres números del reverso de tres cartas cualesquiera. ¿Cuál es el número mínimo de preguntas que habría que hacer para determinar los números de los reversos de todas las cartas si $n$ es igual a $30$, $31$ o $32$?
- Si las cartas se disponen alrededor de una circunferencia y se permite preguntar el producto de los números en el reverso tres consecutivas, ¿cuántas preguntas son necesarias como mínimo para hallar el producto de los números en los reversos todas las cartas si $n=50$?
Sin pistas
Sin soluciones
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Problema 94
ASU, 1974-P2
¿Cuál es el menor valor positivo posible de $36^m-5^n$, siendo $m$ y $n$ números naturales?
pistasolución 1info
Pista. ¿Cuáles pueden ser las cifras de las unidades del número $36^m-5^n$?
Solución. Observemos que la expresión decimal de $36^m$ siempre termina en $6$ mientras que la de $5^n$ siempre lo hace en $5$ luego $36^m-5^n$ siempre termina en $1$ independientemente de los valores de $m$ y $n$. Además, para $m=1$ y $n=2$, el resultado es $11$ luego si descartamos que pueda ocurrir $36^m-5^n=1$, habremos terminado y la respuesta será $11$.
Si ocurriera que $36^m-5^n=1$, entonces $(6^m-1)(6^m+1)=36^m-1=5^n$, de donde $6^m+1$ debería ser una potencia de $5$ pero, módulo $5$, este número es congruente con $2$ y hemos llegado a una contradicción.
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Problema 2172
ASU, 1974-P3
- Si todos los lados de un hexágono convexo tienen longitudes mayores o iguales que $1$, ¿hay necesariamente una diagonal con longitud mayor que $2$?
- Si todas las diagonales de un hexágono convexo tienen longitudes mayores o iguales que $2$, ¿hay necesariamente un lado mayor con longitud mayor que $1$?
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Sesión 2 — Nivel 8 (segundo día)
Problema 2178
ASU, 1974-P9
Encontrar todos los enteros positivos $m$ y $n$ tales que $n^n$ tiene $m$ dígitos mientras que $m^m$ tiene $n$ dígitos (en el sistema decimal).
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Problema 2179
ASU, 1974-P10
Sea $ABC$ un triángulo rectángulo isósceles con ángulo recto en $C$. Consideremos puntos $D$ y $E$ en los lados $AC$ y $BC$, respectivamente, tales que $CD=CE$. Las perpendiculares a $AE$ por $C$ y $D$ cortan a $AB$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Demostrar que $KL=LB$.
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Problema 2180
ASU, 1974-P11
Una rata y dos gatos se encuentran en un tablero de ajedrez. La rata se coloca primero y luego los dos gatos eligen posiciones en las casillas del borde. La rata y los gatos se mueven por turnos. La rata se puede mover en cada turno a una casilla que comparta un lado con la casilla en la que estaba y, si se encuentra en una casilla del borde, puede salir del tablero. Cuando les toca a los gatos, ambos se mueven a una casilla que comparta un lado con la casilla en la que estaban. La rata gana si consigue escapar del tablero y los gatos ganan si uno de ellos consigue moverse a la misma casilla en la que está la rata.
- Determinar quién tiene una estrategia ganadora.
- Si hubiera tres gatos (y cada uno de ellos se mueve en el turno de los gatos) pero la rata tiene un movimiento inicial adicional, demostrar que la rata puede ganar a los gatos.
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Problema 2181
ASU, 1974-P12
Colocar los números del $1$ al $32$ en fila de forma que la media aritmética de dos números cualesquiera no se encuentre entre ellos. ¿Es posible hacer lo mismo con los números de $1$ al $100$?
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Sesión 3 — Nivel 9 (primer día)
Problema 94
ASU, 1974-P2
¿Cuál es el menor valor positivo posible de $36^m-5^n$, siendo $m$ y $n$ números naturales?
pistasolución 1info
Pista. ¿Cuáles pueden ser las cifras de las unidades del número $36^m-5^n$?
Solución. Observemos que la expresión decimal de $36^m$ siempre termina en $6$ mientras que la de $5^n$ siempre lo hace en $5$ luego $36^m-5^n$ siempre termina en $1$ independientemente de los valores de $m$ y $n$. Además, para $m=1$ y $n=2$, el resultado es $11$ luego si descartamos que pueda ocurrir $36^m-5^n=1$, habremos terminado y la respuesta será $11$.
Si ocurriera que $36^m-5^n=1$, entonces $(6^m-1)(6^m+1)=36^m-1=5^n$, de donde $6^m+1$ debería ser una potencia de $5$ pero, módulo $5$, este número es congruente con $2$ y hemos llegado a una contradicción.
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Problema 2171
ASU, 1974-P1
Se tienen $n$ cartas numeradas con los enteros del $1$ al $n$. Cada carta tiene escrito un $1$ o un $-1$ en el reverso.
- Se permite preguntar el producto de tres números del reverso de tres cartas cualesquiera. ¿Cuál es el número mínimo de preguntas que habría que hacer para determinar los números de los reversos de todas las cartas si $n$ es igual a $30$, $31$ o $32$?
- Si las cartas se disponen alrededor de una circunferencia y se permite preguntar el producto de los números en el reverso tres consecutivas, ¿cuántas preguntas son necesarias como mínimo para hallar el producto de los números en los reversos todas las cartas si $n=50$?
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Problema 2173
ASU, 1974-P4
Se tiene un trapecio $ABCD$ con lados paralelos $AB$ y $CD$ y dos circunferencias de radios $r$ y $R$ en su interior y tangentes exteriormente, de forma que $AD$ es tangente a la circunferencia de radio $r$ y $BC$ es tangente a la circunferencia de radio $R$. ¿Cuál es la menor longitud posible de $?
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Problema 2174
ASU, 1974-P5
Dados $n$ vectores unitarios en el plano cuya suma tenga longitud menor que $1$. Demostrar que se pueden ordenar los vectores de manera que la suma de los $k$ primeros vectores tenga módulo menor que $2$ para todo $1\leq k\leq n$.
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Sesión 4 — Nivel 9 (segundo día)
Problema 2182
ASU, 1974-P13
Encontrar todos los números de tres dígitos $\overline{abc}$ que sean iguales a la media aritmética de los seis números
\[\overline{abc},\quad\overline{acb},\quad\overline{bac},\quad\overline{bca},\quad\overline{cab},\quad\overline{cba}.\]
Nota. $\overline{xyz}$ indica el número natural de tres cifras que tiene $x$ centenas, $y$ decenas y $z$ unidades.
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Problema 2183
ASU, 1974-P14
Tenemos un polígono convexo tal que ningún triángulo de área $1$ puede colocarse dentro de él, incluso tocando el borde. Demostrar que el polígono puede colocarse dentro de un triángulo de área $4$.
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Problema 2181
ASU, 1974-P12
Colocar los números del $1$ al $32$ en fila de forma que la media aritmética de dos números cualesquiera no se encuentre entre ellos. ¿Es posible hacer lo mismo con los números de $1$ al $100$?
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Sesión 5 — Nivel 10 (primer día)
Problema 2175
ASU, 1974-P6
Encontrar todos los números reales $a,b,c$ tales que
\[|ax+by+cz|=|bx+cy+az|=|cx+ay+bz|=|x+y+z|\]
para cualesquiera números reales $x,y,z$.
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Problema 2176
ASU, 1974-P7
Sean $P$ un punto del lado $AB$ y $Q$ un punto del lado $BC$ de un cuadrado $ABCD$ tales que $BP=BQ$. Si $H$ es un punto del segmento $PC$ tal que $BHC$ es un ángulo recto, demostrar que $DHQ$ es un ángulo recto.
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Problema 2177
ASU, 1974-P8
Tenemos un grafo con $n$ vértices, cada uno de los cuales está coloreado de azul o de rojo. Podemos seleccionar un vértice que tenga color diferente al de más de la mitad de los puntos a los que está unido y cambiar su color. Probar que solo se puede hacer un número finito de cambios sucesivos de este tipo.
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Problema 2174
ASU, 1974-P5
Dados $n$ vectores unitarios en el plano cuya suma tenga longitud menor que $1$. Demostrar que se pueden ordenar los vectores de manera que la suma de los $k$ primeros vectores tenga módulo menor que $2$ para todo $1\leq k\leq n$.
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Sesión 6 — Nivel 10 (segundo día)
Problema 346
ASU, 1974-P15
Una función $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ cumple las siguientes propiedades:
- $f(1)=1$,
- $f(x)\geq 0$ para todo $x\in[0,1]$,
- $f(x+y)\geq f(x)+f(y)$ siempre que $x,y,x+y\in[0,1]$.
pistasolución 1info
Pista. Algunas propiedades que puedes demostrar fácilmente y que te pueden ayudar son las siguientes:
- $f(x)\leq 1$ para todo $x\in[0,1]$.
- $f(nx)\leq nf(x)$ para todo $x\in[0,1]$ y $n\in\mathbb{N}$ tales que $nx\in[0,1]$.
Solución. En primer lugar, tenemos que $f(x)+f(1-x)\leq f(x+1-x)=f(1)=1$, luego $f(x)\leq 1-f(1-x)\leq 1$ para todo $x\in[0,1]$. En particular, $f(x)\leq 1\leq 2x$ para todo $x\geq \frac{1}{2}$, así que supondremos a partir de ahora que $x\lt\frac{1}{2}$.
Para ello, observemos que $f(nx)\geq nf(x)$ para todo entero positivo $n$ tal que $nx\in[0,1]$ (sin más que aplicar la tercera propiedad del enunciado reiteradamente). Tomemos entonces $n\geq 2$ tal que $\frac{1}{n+1}\leq x\lt\frac{1}{n}$, con lo que $nf(x)\leq f(nx)\leq 1$. Por tanto, \[f(x)\leq\frac{1}{n}=\frac{n+1}{n(n+1)}\leq\frac{n+1}{n}x=\left(1+\frac{1}{n}\right)x\leq\left(1+\frac{1}{2}\right)x=\frac{3}{2}x\leq 2x.\]
Finalmente, vamos a probar que la respuesta a la última pregunta es negativa (en realidad, no puede sustituirse $2$ en la desigualdad $f(x)\leq 2x$ por otra constante menor). Como contraejemplo sirve la función definida a trozos: \[f:[0,1]\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\begin{cases}2x&\text{si }0\leq x\lt\frac{1}{2},\\1&\text{si }\frac{1}{2}\leq x\leq 1.\end{cases}\] Es fácil ver que cumple las condiciones del enunciado (los detalles se dejan al lector), mientras que $f(\frac{1}{2})=2\cdot\frac{1}{2}$, luego $2$ no puede sustituirse por $1,\!9$.
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Problema 2184
ASU, 1974-P16
Sean $ABC$ un triángulo de área $1$ y $D,E,F$ los puntos medios de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente. Tomamos puntos $P,Q,R$ en los segmentos $BF,CD,AE$, respectivamente. ¿Cuál es el menor área posible para la intersección de los triángulos $DEF$ y $PQR$?
Sin pistas
Sin soluciones
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Problema 2181
ASU, 1974-P12
Colocar los números del $1$ al $32$ en fila de forma que la media aritmética de dos números cualesquiera no se encuentre entre ellos. ¿Es posible hacer lo mismo con los números de $1$ al $100$?
Sin pistas
Sin soluciones
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