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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
IX All-Soviet-Union Mathematical Competitions — 1975
Sesión 1 — Nivel 8 (primer día)
Problema 2185
ASU, 1975-P1
- Rotamos un triángulo $ABC$ respecto de su circuncentro para obtener un nuevo triángulo $A'B'C'$. Las rectas $AB$ y $A'B'$ se cortan en $C''$, las rectas $BC$ y $B'C'$ se cortan en $A''$ y las rectas $CA$ y $C'A'$ se cortan en $B''$. Demostrar que los triángulos $ABC$ y $A''B''C''$ son semejantes.
- Rotamos un cuadrilátero cíclico $ABCD$ respecto del centro de su circunferencia circunscrita para obtener un nuevo cuadrilátero $A'B'C'D'$. Demostrar que los puntos de intersección de los lados homólogos forman un paralelogramo.
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Problema 2186
ASU, 1975-P2
Sea $ABC$ un triángulo de área $1$. El primer jugador elige un punto $X$ del lado $AB$, después el segundo jugador elige un punto $Y$ del lado $BC$ y finalmente el primer jugador elige un punto $Z$ en el lado $CA$. El primer jugador intenta maximizar el área de $XYZ$, mientras que el segundo jugador intenta minimizarla. ¿Cuál es la estrategia óptima para el primer jugador y el mejor resultado que puede obtener si asumimos que el segundo jugador juega de forma óptima?
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Problema 2187
ASU, 1975-P3
¿Cuál es el menor perímetro que puede tener un polígono convexo de $32$ lados si sus vértices tienen todos coordenadas enteras?
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Problema 2188
ASU, 1975-P4
En un cuadrado $7\times 7$ compuesto por $49$ cuadrados unitarios se marcan los centros de $n$ de estos cuadrados de forma que no hay cuatro marcas que formen un rectángulo con lados paralelos a los del cuadrado. ¿Cuál el mayor valor posible $n$? ¿Y si tenemos un cuadrado $13\times 13$ subdividido en $169$ cuadrados unitarios?
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Sesión 2 — Nivel 8 (segundo día)
Problema 2193
ASU, 1975-P9
Tres moscas se desplazan a lo largo del perímetro de un triángulo de forma que el baricentro del triángulo que forman queda fijo y al menos una de las moscas recorre todo el perímetro del triángulo. Demostrar que dicho baricentro coincide con el baricentro del triángulo original.
Nota. No se asume que las moscas tengan la misma masa ni que se desplacen a la misma velocidad ni que sus velocidades sean constantes.
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Problema 2194
ASU, 1975-P10
Tenemos escritos en una pizarra una cierta cantidad de ceros, unos y doses. En cada movimiento, podemos tomar dos números distintos y reemplazar ambos por el tercero. Supongamos que después de un cierto número de movimientos eliminamos todos los números salvo uno. Demostrar que este número no depende de los movimientos que se han realizado.
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Problema 2195
ASU, 1975-P11
Sea $S$ una banda horizontal en el plano, es decir, la región delimitada entre dos rectas horizontales. Se dibujan $n$ rectas no horizontales de forma que no hay tres que se corten en el mismo punto pero dos cualesquiera de ellas se cortan dentro de la banda horizontal. Un camino es un recorrido a lo largo de segmentos contenidos en las $n$ rectas empezando en un punto del borde inferior de la banda y siempre yendo hacia arriba.
- Demostrar que se pueden encontrar (al menos) $\frac{n}{2}$ caminos disjuntos.
- Demostrar que hay un camino que recorre al menos $n$ segmentos.
- Demostrar que hay un camino que pasa por a lo sumo $\frac{n}{2}+1$ rectas.
- Demostrar que hay un camino que recorre segmentos de todas las rectas.
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Sesión 3 — Nivel 9 (primer día)
Problema 2189
ASU, 1975-P5
Dado un hexágono convexo $ABCDEF$, consideremos los puntos medios de las seis diagonales $AC,BD,CE,DF,EA,FB$. Demostrar que estos puntos medios son vértices de un hexágono convexo con área $\frac{1}{4}$ del área del hexágono original.
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Problema 2186
ASU, 1975-P2
Sea $ABC$ un triángulo de área $1$. El primer jugador elige un punto $X$ del lado $AB$, después el segundo jugador elige un punto $Y$ del lado $BC$ y finalmente el primer jugador elige un punto $Z$ en el lado $CA$. El primer jugador intenta maximizar el área de $XYZ$, mientras que el segundo jugador intenta minimizarla. ¿Cuál es la estrategia óptima para el primer jugador y el mejor resultado que puede obtener si asumimos que el segundo jugador juega de forma óptima?
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Problema 2190
ASU, 1975-P6
Demostrar que existen $2^{n+1}$ números de $2^n$ dígitos cada uno de ellos de forma que todos los dígitos son $1$ o $2$ y dos números cualesquiera difieren en al menos la mitad de sus dígitos.
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Problema 2188
ASU, 1975-P4
En un cuadrado $7\times 7$ compuesto por $49$ cuadrados unitarios se marcan los centros de $n$ de estos cuadrados de forma que no hay cuatro marcas que formen un rectángulo con lados paralelos a los del cuadrado. ¿Cuál el mayor valor posible $n$? ¿Y si tenemos un cuadrado $13\times 13$ subdividido en $169$ cuadrados unitarios?
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Sesión 4 — Nivel 9 (segundo día)
Problema 2196
ASU, 1975-P12
Coloreamos cada uno de los $n^3$ cubos unitarios en que se descompone un cubo $n\times n\times n$ de azul, de rojo o de verde. Determinar los valores de $n$ para los que es posible colorearlos de forma que cada cubo rojo tiene exactamente dos cubos rojos que comparten una cara con él y cada cubo verde tiene exactamente dos cubos verdes que comparten una cara con él.
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Problema 2195
ASU, 1975-P11
Sea $S$ una banda horizontal en el plano, es decir, la región delimitada entre dos rectas horizontales. Se dibujan $n$ rectas no horizontales de forma que no hay tres que se corten en el mismo punto pero dos cualesquiera de ellas se cortan dentro de la banda horizontal. Un camino es un recorrido a lo largo de segmentos contenidos en las $n$ rectas empezando en un punto del borde inferior de la banda y siempre yendo hacia arriba.
- Demostrar que se pueden encontrar (al menos) $\frac{n}{2}$ caminos disjuntos.
- Demostrar que hay un camino que recorre al menos $n$ segmentos.
- Demostrar que hay un camino que pasa por a lo sumo $\frac{n}{2}+1$ rectas.
- Demostrar que hay un camino que recorre segmentos de todas las rectas.
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Problema 2197
ASU, 1975-P13
Sea $p(x)$ un polinomio con coeficientes enteros y sea $f(n)$ la suma de los dígitos de $p(n)$ en el sistema decimal. Demostrar que existe un entero positivo $a$ tal que $f(n)=a$ para infinitos valores de $n$.
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Sesión 5 — Nivel 10 (primer día)
Problema 2191
ASU, 1975-P7
Se considera una familia finita de polígonos en el plano tales que dos cualesquiera de ellos tienen algún punto en común. Demostrar que existe una recta que corta a todos los polígonos.
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Problema 2192
ASU, 1975-P8
Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demostrar que
\[a^3+b^3+c^3+3abc\gt ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a).\]
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ASU, 1975-P1
- Rotamos un triángulo $ABC$ respecto de su circuncentro para obtener un nuevo triángulo $A'B'C'$. Las rectas $AB$ y $A'B'$ se cortan en $C''$, las rectas $BC$ y $B'C'$ se cortan en $A''$ y las rectas $CA$ y $C'A'$ se cortan en $B''$. Demostrar que los triángulos $ABC$ y $A''B''C''$ son semejantes.
- Rotamos un cuadrilátero cíclico $ABCD$ respecto del centro de su circunferencia circunscrita para obtener un nuevo cuadrilátero $A'B'C'D'$. Demostrar que los puntos de intersección de los lados homólogos forman un paralelogramo.
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Problema 2188
ASU, 1975-P4
En un cuadrado $7\times 7$ compuesto por $49$ cuadrados unitarios se marcan los centros de $n$ de estos cuadrados de forma que no hay cuatro marcas que formen un rectángulo con lados paralelos a los del cuadrado. ¿Cuál el mayor valor posible $n$? ¿Y si tenemos un cuadrado $13\times 13$ subdividido en $169$ cuadrados unitarios?
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Problema 2194
ASU, 1975-P10
Tenemos escritos en una pizarra una cierta cantidad de ceros, unos y doses. En cada movimiento, podemos tomar dos números distintos y reemplazar ambos por el tercero. Supongamos que después de un cierto número de movimientos eliminamos todos los números salvo uno. Demostrar que este número no depende de los movimientos que se han realizado.
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Problema 2198
ASU, 1975-P14
En un torneo hay 20 equipos de forma que cada pareja se enfrenta en un único partido en el que gana uno de ellos (no hay posible empate). Hay un total de $k$ equipos europeos y se da un premio especial para el mejor equipo europeo que se calcula en base a los $\frac{1}{2}k(k-1)$ partidos que estos equipos juegan entre sí. Al finalizar el torneo, resulta que el equipo que ha ganado el trofeo europeo se ha quedado último en la clasificación de los $20$ equipos.
- Determinar el mayor valor de $k$ para el que esto es posible.
- Responder a la misma pregunta si se permiten los empates y un equipo recibe $2$ puntos por victoria y $1$ punto por empate.
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Problema 2199
ASU, 1975-P15
Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n$ números reales y $c_1,c_2,\ldots,c_n,d_1,d_2,\ldots,d_n$ números reales positivos. Definimos
\[e_{ij}=\frac{a_i+b_j}{c_i+d_j},\qquad M_i=\max_{0\leq j\leq n} e_{ij},\qquad m_j=\min_{1\leq i\leq n}e_{ij}.\]
Demostrar que existe un valor $e_{ij}$ con $1\leq i,j\leq n$ tal que $e_{ij}=M_i=m_j$.
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