Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

1. Demostrar que, para todo $x,y\geq 0$, se cumple la desigualdad \[\lfloor 5x\rfloor+\lfloor 5y\rfloor\geq \lfloor 3x+y\rfloor 3y+x\rfloor.\]
2. Usando (a) o mediante otro método, probar que \[\frac{(5m)!(5n)!}{m!n!(3m+n)!(3n+m)!}\] es un número entero para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$.

Nota: $\lfloor u\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $u$.

Sean $A,B,C,D$ cuatro puntos en el espacio. Demostrar que \[AC^2+BD^2+AD^2+BC^2\geq AB^2+CD^2.\]

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n$ tal que $P(x)=\frac{k}{k+1}$ para todo $k=0,1,2,\ldots,n$. Hallar el valor de $P(n+1)$.

Dados dos círculos que se cortan en los puntos $P$ y $Q$, construir un segmento $AB$ que pase por $P$ y tenga sus extremos en los círculos de forma que el producto $AP\cdot PB$ sea máximo.

Tenemos una baraja de $n$ cartas que contiene exactamente $3$ ases y se baraja aleatoriamente de forma que todas las posibles distribuciones de las cartas son equiprobables. Demostrar que el número esperado de cartas que hay que voltear hasta que aparece el segundo as es $\frac{n+1}{2}$.