Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se disponen 50 relojes analógicos sobre una mesa, todos ellos en hora sin atrasar ni adelantar. Demostrar que existe un instante en el que la suma de las distancias del centro de la mesa a los centros de la esferas de los relojes es igual a la suma de las distancias del centro de la mesa a las puntas de las manecillas de los minutos.

En cada una de las casillas de las $12$ filas de un tablero $12\times 1000$ se escribe un número entero, de forma que debajo de cada número está escrito el número de veces que aparece este número en su fila.

1. Demostrar que las filas $11$ y $12$ son idénticas
2. Demostrar que las filas $10$ y $11$ no tienen por qué ser idénticas.

La circunferencias $C_1,C_2,C_3$ tienen el mismo radio y pasan todas ellas por un punto $X$. Llamamos $Y_{ij}$ al otro punto de intersección de $C_i$ y $C_j$. Demostrar que \[\angle XO_1Y_{12}+\angle XO_2Y_{23}+\angle XO_3Y_{31}=180^\circ,\] donde $O_i$ denota el centro de la circunferencia $C_i$.

Sean $a_1$ y $a_2$ enteros positivos menores que $1000$. Definimos \[a_n=\min\{|a_i-a_j|: 0\lt i\lt j\lt n\}.\] Demostrar que $a_{21}=0$.

En un tablero $99\times 99$, se tiene un conjunto de casillas $S$ y en cada una de ellas hay un escarabajo. En un instante dado, todos los escarabajos salen volando y aterrizan en casillas de $S$ de acuerdo a las siguientes reglas:

• Cada escarabajo puede aterrizar en una nueva casilla o caer en la que estaba.
• Más de un escarabajo puede aterrizar en la misma casilla.
• Si dos escarabajos estaban en la misma casilla o en casillas que comparten algún vértice, después aterrizan en la misma casilla o en casillas que comparten un vértice.

Determinar si hay necesariamente un escarabajo que aterrice en la misma casilla que estaba o en una casilla que comparta algún vértice con ella en cada uno de los siguientes supuestos:

1. $S$ es el conjunto formado por las casillas de la fila y columna centrales.
2. $S$ es el conjunto formado por las casillas de la fila y columna centralres junto con las casillas del borde del tablero.
3. $S$ es todo el tablero.

Diremos que un triángulo es grande si cada uno de sus lados tiene longitud mayor que $1$.

1. Demostrar que se puede descomponer un triángulo equilátero de lado $5$ en $100$ triángulos grandes que sean disjuntos o bien tenga intersección un vértice o un lado común.
2. Demostrar que también se puede descomponer un triángulo equilátero de lado $3$ en las mismas condiciones.

Dado un entero positivo $n$, diremos que una sucesión $a_1,a_2,\ldots,a_k$ de enteros positivos, con $k\geq n$, es universal si podemos encontrar cualquier permutación de los números del $1$ al $n$ sin más que eliminar algunos términos de la sucesión. Por ejemplo, $1,2,3,1,2,1,3$ es universal para $n=3$, mientras que $1,2,3,2,1,3,1$ no lo es porque no se puede encontrar la permutación $3,1,2$ (en este orden).

1. Dar un ejemplo de sucesión universal de $n^2$ elementos.
2. Dar un ejemplo de sucesión universal de $n^2-n+1$ elementos.
3. Demostrar que cualquier sucesión universal contiene al menos $\frac{n(n+1)}{2}$ elementos.
4. Demostrar que la sucesión universal más corta para $n=4$ contiene $12$ elementos.

Nota. En el problema original también se proponía encontrar la longitud óptima de la sucesión universal para todo $n$. Este se daba como un problema abierto y se indicaba que la mejor cota superior encontrada por el comité organizador de la olimpiada es $n^2-2n+4$ elementos.

La circunferencias $C_1,C_2,C_3$ tienen el mismo radio y pasan todas ellas por un punto $X$. Llamamos $Y_{ij}$ al otro punto de intersección de $C_i$ y $C_j$. Demostrar que \[\angle XO_1Y_{12}+\angle XO_2Y_{23}+\angle XO_3Y_{31}=180^\circ,\] donde $O_i$ denota el centro de la circunferencia $C_i$.

Determinar si se pueden etiquetar los vértices de un cubo con números distintos de tres dígitos en binario (del 000 al 111) de forma que los números de dos vértices adyacentes difieren en al menos dos dígitos.

Sean $a_1$ y $a_2$ enteros positivos menores que $1000$. Definimos \[a_n=\min\{|a_i-a_j|: 0\lt i\lt j\lt n\}.\] Demostrar que $a_{21}=0$.

Sea $a,b,c,d$ vectores en el plano tales que $a+b+c+d=0$. Demostrar que \[|a|+|b|+|c|+|d|\geq|a+d|+|b+d|+|c+d|.\]

Diremos que un triángulo es grande si cada uno de sus lados tiene longitud mayor que $1$.

1. Demostrar que se puede descomponer un triángulo equilátero de lado $5$ en $100$ triángulos grandes que sean disjuntos o bien tenga intersección un vértice o un lado común.
2. Demostrar que también se puede descomponer un triángulo equilátero de lado $3$ en las mismas condiciones.

Se escriben $n$ números alrededor de una circunferencia. Estos números tienen suma $0$ y uno de ellos es igual a $1$.

1. Probar que hay dos números consecutivos cuya diferencia es menor o igual que $\frac{n}{4}$.
2. Probar que existe un número que difiere de la media aritmética de sus dos vecinos al menos $\frac{8}{n^2}$.
3. Mejorar la estimación del apartado (b) sustituyendo $8$ por un valor mayor.
4. Demostrar que, para $n=30$, hay un número que difieren de la media aritmética de sus dos vecinos al menos $\frac{2}{113}$ y de un ejemplo de de $30$ números tales que ninguno de ellos difiere de la media aritmética de sus vecinos más de $\frac{2}{113}$.

Dado un entero positivo $n$, diremos que una sucesión $a_1,a_2,\ldots,a_k$ de enteros positivos, con $k\geq n$, es universal si podemos encontrar cualquier permutación de los números del $1$ al $n$ sin más que eliminar algunos términos de la sucesión. Por ejemplo, $1,2,3,1,2,1,3$ es universal para $n=3$, mientras que $1,2,3,2,1,3,1$ no lo es porque no se puede encontrar la permutación $3,1,2$ (en este orden).

1. Dar un ejemplo de sucesión universal de $n^2$ elementos.
2. Dar un ejemplo de sucesión universal de $n^2-n+1$ elementos.
3. Demostrar que cualquier sucesión universal contiene al menos $\frac{n(n+1)}{2}$ elementos.
4. Demostrar que la sucesión universal más corta para $n=4$ contiene $12$ elementos.

Nota. En el problema original también se proponía encontrar la longitud óptima de la sucesión universal para todo $n$. Este se daba como un problema abierto y se indicaba que la mejor cota superior encontrada por el comité organizador de la olimpiada es $n^2-2n+4$ elementos.

Sean $a_1$ y $a_2$ enteros positivos menores que $1000$. Definimos \[a_n=\min\{|a_i-a_j|: 0\lt i\lt j\lt n\}.\] Demostrar que $a_{21}=0$.

En un polígono regular de $1976$ lados, definimos $T$ como el conjunto de los puntos medios de segmentos que unen vértices del polígono (diagonales o lados del polígono). ¿Cuál es el mayor número de puntos de $T$ que están sobre una misma circunferencia?

Se dibujan $n$ rectángulos en un papel con forma de rectángulo, de forma que los lados de los $n$ rectángulos son paralelos a los lados del papel. Ningún par de rectángulos tiene puntos interiores comunes, aunque sí pueden tocarse en sus bordes. Demostrar que al recortar los rectángulos la hoja de papel queda dividida en a lo sumo $n+1$ trozos.

Tres personas caminan a velocidad constante por tres calles rectilíneas. Si el instante $t=0$ las tres personas no están alineadas, demostrar que estarán alineadas a lo sumo dos veces para $t\gt 0$.

Sea $a,b,c,d$ vectores en el plano tales que $a+b+c+d=0$. Demostrar que \[|a|+|b|+|c|+|d|\geq|a+d|+|b+d|+|c+d|.\]

Consideremos un polígono regular de $n$ lados cuyos vértices están etiquetados con $+1$ o $-1$. Un movimiento consiste en cambiar el signo de los vértices que forman un polígono regular de $k$ lados para $2\leq k\leq n$ (entendiendo por polígono regular de $2$ lados a dos vértices diametralmente opuestos del polígono original).

1. Demostrar que para cualquier $n\gt 2$ podemos etiquetar los vértices de forma que no se puede pasar a que todos sean $+1$ mediante una serie de movimientos.
2. Si $f(n)$ es el mayor número de etiquetados iniciales que podemos encontrar para los que ninguno de ellos se puede obtener de ningún otro mediante una serie de movimientos, demostrar que $f(200)=2^{80}$.

Sean $S$ una esfera de radio $1$ y $P$ un plano que pasa por su centro. Para cualquier punto $x$ de la esfera, denotamos por $f(x)$ a la distancia desde $x$ a $P$.

1. Demostrar que si $x,y,z$ son los extremos de tres radios de $S$ mutuamente perpendiculares, entonces $f(x)^2+f(y)^2+f(z)^2=1$.
2. Sea $g:S\to\mathbb{R}$ una función que toma valores mayores o iguales que $0$ y cumple que $g(x)^2+g(y)^2+g(z)^2=1$ para cualesquiera extremos de radios de $S$ mutuamente perpendiculares. Si $g(x)=1$ siempre que $f(x)=1$, demostrar que $g(x)=f(x)$ para todo $x\in S$.

Dado un entero positivo $n$, diremos que una sucesión $a_1,a_2,\ldots,a_k$ de enteros positivos, con $k\geq n$, es universal si podemos encontrar cualquier permutación de los números del $1$ al $n$ sin más que eliminar algunos términos de la sucesión. Por ejemplo, $1,2,3,1,2,1,3$ es universal para $n=3$, mientras que $1,2,3,2,1,3,1$ no lo es porque no se puede encontrar la permutación $3,1,2$ (en este orden).

1. Dar un ejemplo de sucesión universal de $n^2$ elementos.
2. Dar un ejemplo de sucesión universal de $n^2-n+1$ elementos.
3. Demostrar que cualquier sucesión universal contiene al menos $\frac{n(n+1)}{2}$ elementos.
4. Demostrar que la sucesión universal más corta para $n=4$ contiene $12$ elementos.

Nota. En el problema original también se proponía encontrar la longitud óptima de la sucesión universal para todo $n$. Este se daba como un problema abierto y se indicaba que la mejor cota superior encontrada por el comité organizador de la olimpiada es $n^2-2n+4$ elementos.