Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Todo número impar al cuadrado es congruente con $1$ módulo $8$, mientras que los números pares al cuadrado son congruentes con $0$ ó con $4$ módulo $8$. Una distinción de casos en la ecuación inicial nos lleva directamente a que $x$, $y$ y $z$ han de ser pares los tres, luego podemos escribir $x=2x'$, $y=2y'$, $z=2z'$ y, sustituyendo estos valores en la ecuación inicial, obtenemos que \[(x')^2+(y')^2+(z')^2=4(x')^2(y')^2.\] A estos nuevos números se les puede aplicar el mismo razonamiento para probar que $x'$, $y'$ y $z'$ son pares y el proceso puede repetirse indefinidamente, lo que nos lleva a que $x$, $y$ y $z$ tienen que ser divisibles por cualquier potencia de $2$ y, por tanto, $x=y=z=0$. Se comprueba que esta es una solución de la ecuación y, por tanto, es la única.

Nota. Otra forma equivalente de plantear esta misma solución es mediante la técnica del descenso infinito.

Solución. Demostraremos que $P(1)=0$, lo que nos dirá que $x-1$ es un factor de $P(x)$. La idea en este problema es apelar a la igualdad $(x-1)(1+x+x^2+x^3+x^4)=x^5-1$, que nos dice que $1+x+x^2+x^3+x^4$ tiene cuatro raíces complejas que son las raíces quintas de la unidad (salvo 1). En particular, las soluciones de $1+x+x^2+x^3+x^4$ se pueden expresar como $\{z,z^2,z^3,z^4\}$, siendo $z$ un número complejo distinto de 1 y tal que $z^5=1$.

Evaluando la igualdad del enunciado en $\{z,z^2,z^3,z^4\}$, obtenemos que \begin{eqnarray*} P(1)+zQ(1)+z^2R(1)&=&0,\\ P(1)+z^2Q(1)+z^4R(1)&=&0,\\ P(1)+z^3Q(1)+z^6R(1)&=&0,\\ P(1)+z^4Q(1)+z^8R(1)&=&0.\\ \end{eqnarray*} Esto puede verse como un sistema de cuatro ecuaciones lineales con tres incógnitas ($P(1)$, $Q(1)$ y $R(1)$). La matriz de coeficientes está dada por \[A=\left(\begin{matrix}1&z&z^2\\1&z^2&z^4\\1&z^3&z^6\\1&z^4&z^8\end{matrix}\right).\] Si eliminamos la última fila, el determinante de la matriz $3\times 3$ resultante es igual a $z^8-2z^7+2z^5-z^4$. Si usamos que $z^5=1$, podemos simplificarlo a $-z^4+z^3-2z^2+2$ y, usando que $z^4=-z^3-z^2-z-1$, podemos simplificarlo finalmente a $2z^3-z^2+z+3$. Si hacemos el mismo proceso eliminando la primera fila en lugar de la última, llegamos a que el determinante de la matriz $3\times 3$ resultante es $2z^3-z^2+z-2$. Evidentemente, los dos determinantes no pueden ser cero simultáneamente ya que se diferencian en 5 unidades, lo que nos dice que la matriz $A$ tiene rango 3 y, por tanto, el sistema de ecuaciones tiene como única solución la trivial $P(1)=Q(1)=R(1)=0$. Esto concluye la demostración.