Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideremos una línea poligonal en el plano que no se corta a sí misma, es decir, dos segmentos no consecutivos de la diagonal tienen intersección vacía. Supongamos que no hay tres vértices de la poligonal que estén alineados. Diremos que un par de segmentos de la poligonal es especial cuando la prolongación de uno de ellos corta al otro. Demostrar que hay un número par de segmentos especiales.

Consideramos un conjunto finito de puntos del plano y supongamos que no están todos en una misma recta. Se le asigna un número real a cada punto de forma que si una recta contiene dos o más puntos, entonces su suma es cero. Demostrar que todos los números son necesariamente cero.

Se disponen fichas blancas y negras alrededor de una circunferencia y dos jugadores van por turnos retirando fichas. El primer jugador quita todas las fichas negras que tengan al menos una ficha blanca a su lado y el segundo todas las fichas blancas que tenga al menos una ficha negra a su lado. El juego termina cuando todas las fichas son del mismo color.

1. Si inicialmente hay $40$ fichas, determinar si es posible que después de dos movimientos de cada jugador quede exactamente una ficha.
2. Supongamos ahora que hay inicialmente $1000$ fichas. Hallar el mínimo número de movimientos posible para llegar a una posición en la que quede una sola ficha.

Siete elfos se sientan alrededor de una mesa. Cada uno de ellos tiene una taza y todas las tazas contienen un total de $3$ litros de leche. Cada elfo, por turnos, reparte toda su leche a los otros seis a partes iguales y, al final del proceso, todos los elfos tienen la misma cantidad de leche con la que empezaron. Determinar cuánta leche tenía cada elfo al principio.

Diremos que un entero positivo es un cuadrado doble si es un cuadrado con un número par $2n$ de dígitos en el sistema decimal y tanto sus primeros $n$ dígitos como sus últimos $n$ dígitos forman a su vez cuadrados perfectos no nulos. Por ejemplo, $1681$ es un cuadrado doble pero $2500$ no lo es.

1. Encontrar todos los cuadrados dobles de $2$ dígitos y de $4$ dígitos.
2. Determinar si existen o no cuadrados dobles de $6$ dígitos.
3. Demostrar que hay cuadrados dobles de $20$ dígitos.
4. Demostrar que hay al menos diez cuadrados dobles de $100$ dígitos.
5. Demostrar que hay algún cuadrado doble de $30$ dígitos.

Consideremos una sucesión $a_1,a_2,\ldots,a_n$ de enteros positivos. Sea $S$ el conjunto de todas las sumas de uno o más elementos de la sucesión. Demostrar que $S$ se puede dividir en $n$ subconjuntos tales que el mínimo de cada subconjunto es mayor o igual que la mitad del máximo.

Tenemos $1000$ tickets numerados del $000$ al $999$ y $100$ cajas numeradas del $00$ al $99$. Cada ticket se puede colocar en cualquier caja cuyo número pueda obtenerse eliminando un dígito del número del ticket.

1. Demostrar que se pueden elegir $50$ cajas en las que se pueden colocar todos los tickets pero no menos de $50$ cajas.
2. Demostrar que si tenemos $10000$ tickets de cuatro dígitos y se permite borrar dos dígitos, entonces se pueden elegir $34$ cajas en las que colocar todos los tickets.
3. Generalizar los resultados anteriores para números de $n+2$ dígitos y borrando $n$ de ellos. ¿Cuál es el mínimo número de cajas que se requiere en función de $n$?

Sea $\{a_n\}$ una sucesión infinita de números reales tales que \[\lim_{n\to\infty}\left(a_{n+1}-\frac{a_n}{2}\right)=0.\] Demostrar que necesariamente se tiene que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$.

Consideremos una línea poligonal en el plano que no se corta a sí misma, es decir, dos segmentos no consecutivos de la diagonal tienen intersección vacía. Supongamos que no hay tres vértices de la poligonal que estén alineados. Diremos que un par de segmentos de la poligonal es especial cuando la prolongación de uno de ellos corta al otro. Demostrar que hay un número par de segmentos especiales.

En una cierta ciudad hay autopistas de peaje directas que conectan dos ciudades cualesquiera y la tarifa que hay que pagar para viajar (por la ruta directa) desde la ciudad A a la ciudad B es la misma que para viajar desde la ciudad B a la ciudad A. Dos viajeros deciden visitar todas las ciudades. El primero de ellos empieza en una cierta ciudad y viaja a todas las demás eligiendo siempre la siguiente ciudad a visitar entre las que no ha visitado y la tarifa de la autopista es la más cara posible. El segundo viajante hace algo parecido si bien siempre elige la ciudad con tarifa de autopista más barata. Demostrar que, independientemente de donde empiece cada uno, el primer viajero gasta al menos tanto en autopistas como el segundo.

Un tablero $100\times 100$ está dividido en cuadrados unitarios. Se dibujan varios caminos, cada uno de los cuales sigue los lados de los cuadrados unitarios y toca a los lados del cuadrado grande únicamente en los puntos inicial y final. Cualesquiera dos caminos no se tocan en ningún punto. Demostrar que hay un vértice distinto de las cuatro esquinas del cuadrado grande por el que no pasa ningún camino.

Se tienen enteros positivos $a_1,a_2,\ldots,a_m,b_1,b_2,\ldots,b_n$ que cumplen \[a_1+a_2+\ldots+a_m=b_1+b_2+\ldots+b_n\lt nm.\] Demostrar que se pueden eliminar algunos números (y no todos) de forma que la suma de los $a_i$ restantes sea igual a la suma de los $b_j$ restantes.

Se tienen $1000$ láminas cuadradas en el plano con sus lados paralelos a los ejes de coordenadas. Estas láminas pueden tener diferentes tamaños y superponerse unas con otras. Sea $S$ el conjunto de los puntos que están cubiertos por alguna de las placas. Demostrar que se puede elegir un subconjunto $T$ de láminas de forma que cada punto de $S$ esté cubierto por entre una y cuatro placas de $T$.

Tenemos una balanza y $n$ pesas diferentes. Denotaremos por D al estado de la balanza en que el platillo derecho pesa más, por I al estado en que el platillo izquierdo pesa más y por E al estado en que la balanza está en equilibrio. Demostrar que dada cualquier palabra de $n$ letras (formada solo con las letras D e I), se pueden colocar las pesas una a una en los platillos de forma que la palabra refleje los sucesivos estados de la balanza. En particular, la balanza nunca está en equilibrio. Por ejemplo, si las pesas fueran de $1$, $2$ y $3$ gramos y la palabra fuera IDI, entonces podríamos poner la pesa de $1$ gramo en la izquierda, luego la de $2$ gramos en la derecha y finalmente la de $3$ gramos en la izquierda.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión infinita de números reales tales que \[\lim_{n\to\infty}\left(a_{n+1}-\frac{a_n}{2}\right)=0.\] Demostrar que necesariamente se tiene que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$.

A cada vértice de un polígono llegan exactamente tres aristas y cada una de sus caras es un polígono cíclico (hay una circunferencia que pasa por todos sus vértices). Demostrar que todos los vértices del polígono están sobre una esfera.

Dado el polinomio \[x^{10}+a_9x^9+a_8x^8+\ldots+a_1x+1,\] dos jugadores eligen por turnos uno de los coeficientes del $a_1$ al $a_9$ que no haya sido elegido anteriormente y le asignan un valor real. El primer jugador gana si el polinomio resultante no tiene raíces reales y, en caso contrario, gana el segundo jugador. Determinar quién tiene una estrategia ganadora y describirla.

Consideremos una línea poligonal en el plano que no se corta a sí misma, es decir, dos segmentos no consecutivos de la diagonal tienen intersección vacía. Supongamos que no hay tres vértices de la poligonal que estén alineados. Diremos que un par de segmentos de la poligonal es especial cuando la prolongación de uno de ellos corta al otro. Demostrar que hay un número par de segmentos especiales.

Un polinomio se dice que es mónico si su coeficiente líder es $1$ y dos polinomios $p(x)$ y $q(x)$ se dice que conmutan si $p(q(x))=q(p(x))$.

1. Encontrar todos los polinomios mónicos de grado $3$ que conmutan con $x^2-k$.
2. Dado un polinomio mónico $p(x)$ y un entero positivo $n$, demostrar que hay a lo sumo un polinomio mónico de grado $n$ que conmuta con $p(x)^2$.
3. Encontar los polinomios del apartado (b) para $n=4$ y $n=8$.
4. Si $q(x)$ y $r(x)$ son polinomios mónicos y ambos conmutan con $p(x)^2$, demostrar que $q(x)$ y $r(x)$ conmutan a su vez.
5. Demostrar que hay una sucesión de polinomios $p_2(x),p_3(x),\ldots$ tales que $p_2(x)=x^2-2$, $p_n(x)$ tiene grado $n$ para todo $n\geq 2$ y $p_i(x)$ conmuta con $p_j(x)$ para todo $i,j\geq 2$.

Diremos que un entero positivo es un cuadrado doble si es un cuadrado con un número par $2n$ de dígitos en el sistema decimal y tanto sus primeros $n$ dígitos como sus últimos $n$ dígitos forman a su vez cuadrados perfectos no nulos. Por ejemplo, $1681$ es un cuadrado doble pero $2500$ no lo es.

1. Encontrar todos los cuadrados dobles de $2$ dígitos y de $4$ dígitos.
2. Determinar si existen o no cuadrados dobles de $6$ dígitos.
3. Demostrar que hay cuadrados dobles de $20$ dígitos.
4. Demostrar que hay al menos diez cuadrados dobles de $100$ dígitos.
5. Demostrar que hay algún cuadrado doble de $30$ dígitos.

Tenemos $1000$ tickets numerados del $000$ al $999$ y $100$ cajas numeradas del $00$ al $99$. Cada ticket se puede colocar en cualquier caja cuyo número pueda obtenerse eliminando un dígito del número del ticket.

1. Demostrar que se pueden elegir $50$ cajas en las que se pueden colocar todos los tickets pero no menos de $50$ cajas.
2. Demostrar que si tenemos $10000$ tickets de cuatro dígitos y se permite borrar dos dígitos, entonces se pueden elegir $34$ cajas en las que colocar todos los tickets.
3. Generalizar los resultados anteriores para números de $n+2$ dígitos y borrando $n$ de ellos. ¿Cuál es el mínimo número de cajas que se requiere en función de $n$?