Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar todos los pares de enteros positivos $(m,n)$ tales que el polinomio $1+x^n+x^{2n}+\ldots+x^{mn}$ es divisible por $1+x+x^2+\ldots+x^m$.

Sean $ABC$ y $A'B'C'$ dos triángulos en el plano tales que las rectas $AA',BB',CC'$ son paralelas. Demostrar que \[3[ABC]+3[A'B'C']=[AB'C']+[BC'A']+[CA'B']+[A'BC]+[B'CA]+[C'AB],\] siendo $[XYZ]$ el área del triángulo $XYZ$ salvo el signo, es decir, en cada una de las áreas de la fórmula anterior hay que hacer una cierta elección de signo $\pm$.

Si $a$ y $b$ son dos de las raíces de $x^4+x^3-1=0$, demostrar que su producto $ab$ es una raíz de $x^6+x^4+x^3-x^2-1=0$.

Consideremos un cuadrilátero en el espacio que no está contenido en ningún plano. Demostrar que sus lados opuestos son congruentes si, y solo si, la recta que une los puntos medios de las dos diagonales es perpendicular a las diagonales.

Si $a,b,c,d,e$ son cinco números positivos que se encuentran entre dos números positivos $p$ y $q$, probar que \[(a+b+c+d+e)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}\right)\leq 25+6\left(\sqrt{\frac{p}{q}}-\sqrt{\frac{q}{p}}\right)^2\] y determinar en qué casos se tiene la igualdad.