Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Si $a_n$ es el entero más cercano a $\sqrt{n}$, hallar el valor de \[\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_{1980}}.\]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero y $M$ un punto en su interior de forma que $ABMD$ es un paralelogramo. Si $\angle CBM=\angle CDM$, demostrar que $\angle ACD=\angle BCM$.

Probar que no hay ningún entero positivo $n$ tal que $1000^n-1$ divida a $1978^n-1$.

Dado un conjunto $K_0$ de puntos del espacio, se define la sucesión $K_1,K_2,\ldots$ de forma que $K_{n+1}$ contiene todos los puntos de $K_n$ junto con sus simétricos respecto de otros puntos de $K_n$.

1. Si $K_0$ está formado por dos puntos $A$ y $B$ a distancia $1$, determinar los valores de $n$ para los que $K_n$ contiene un punto a $1000$ unidades de distancia de $A$.
2. Si $K_0$ está formado por los vértices de un triángulo equilátero de lado $1$, encontrar el área del menor polígono convexo que contiene a $n$.
3. Si $K_0$ está formado por los vértices de un tetraedro regular de volumen $1$, sea $H_n$ el menor poliedro convexo que contiene a $K_n$. Determinar el volumen y el número de caras de $H_n$.

Comenzamos con el par ordenado $(5,19)$ y podemos añadir más pares ordenados de acuerdo a las siguientes reglas

• Si tenemos el par $(2a,2b)$, podemos añadir el par $(a,b)$.
• Si tenemos el par $(a,b)$, podemos añadir el par $(a+1,b+1)$.
• Si tenemos los pares $(a,b)$ y $(b,c)$, podemos añadir el par $(a,c)$.

¿Podemos llegar a obtener el par $(1,50)$? ¿Y el par $(1,100)$? Si empezamos con el par $(a,b)$ en lugar de $(5,19)$, ¿qué pares de la forma $(1,m)$ se pueden obtener?

Un polígono de $n$ lados está inscrito en una circunferencia de radio $R$. Tomamos un punto en cada lo del polígono para formar otro polígono de $n$ lados. Demostrar que el nuevo polígono tiene perímetro mayor o igual que $\frac{2A}{R}$.

Dos personas juegan moviendo por turnos una ficha en un tablero de ajedrez $n\times n$. En su turno, cada jugador la mueve a una casilla contigua, con la regla de que la ficha nunca puede ocupar la misma casilla dos veces. El primer jugador que no sea capaz de mover pierde.

1. Si la pieza se encuentra inicialmente en una esquina del tablero, demostrar que para $n$ par el primer jugador puede siempre ganar y para $n$ impar el segundo jugador siempre puede ganar.
2. Si la pieza se encuentra inicialmente en la casilla contigua a una esquina, determinar en función de $n$ quién tiene una estrategia ganadora.

Consideremos $n$ segmentos de forma que dos segmentos cualesquiera ni se cortan ni están alineados. Determinar si podemos añadir $n-1$ segmentos adicionales para obtener un camino sin autointersecciones (de forma que cada segmento que añadimos tiene sus extremos en los extremos de dos segmentos añadidos previamente).

Si $a_n$ es el entero más cercano a $\sqrt{n}$, hallar el valor de \[\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_{1980}}.\]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero y $M$ un punto en su interior de forma que $ABMD$ es un paralelogramo. Si $\angle CBM=\angle CDM$, demostrar que $\angle ACD=\angle BCM$.

Dos jugadores juegan a un juego en el que tienen dos montones de $m$ y $n$ fichas, con $n\lt m$. Por turnos, cada jugador coge una o más fichas del montón que más tenga, siendo el número de fichas que coge un múltiplo del número de fichas del montón más pequeño. Por ejemplo, si los montones tienen 15 y 4 fichas, el primer jugador puede coger 4, 8 o 12 fichas del montón más grande. Gana el jugador que se lleva las últimas fichas.

1. Demostrar que si $m\gt 2n$, entonces el primer jugador puede ganar siempre siguiendo la estrategia adecuada.
2. Encontrar todos los valores reales de $x\gt 0$ tales que si $m\gt xn$, entonces el primer jugador puede ganar siempre siguiendo la estrategia adecuada.

Probar que existe una sucesión infinita de números reales $x_1,x_2,x_3,\ldots$ que cumple las siguientes dos condiciones:

• Existe $M>0$ tal que $|x_n|\lt M$ para todo $n$.
• $|x_m-x_n|\gt\frac{1}{m-n}$ para todo $m$ y $n$.

Comenzamos con el par ordenado $(5,19)$ y podemos añadir más pares ordenados de acuerdo a las siguientes reglas

• Si tenemos el par $(2a,2b)$, podemos añadir el par $(a,b)$.
• Si tenemos el par $(a,b)$, podemos añadir el par $(a+1,b+1)$.
• Si tenemos los pares $(a,b)$ y $(b,c)$, podemos añadir el par $(a,c)$.

¿Podemos llegar a obtener el par $(1,50)$? ¿Y el par $(1,100)$? Si empezamos con el par $(a,b)$ en lugar de $(5,19)$, ¿qué pares de la forma $(1,m)$ se pueden obtener?

Un polígono de $n$ lados está inscrito en una circunferencia de radio $R$. Tomamos un punto en cada lo del polígono para formar otro polígono de $n$ lados. Demostrar que el nuevo polígono tiene perímetro mayor o igual que $\frac{2A}{R}$.

Sean $a$ y $b$ números reales positivos y sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales comprendidos entre $a$ y $b$. Demostrar que \[(x_1+x_2+\ldots+x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n}\right)\leq \frac{n^2(a+b)^2}{4ab}.\]

Sea $n\gt 3$ un entero y sea $S$ el conjunto de puntos $(a,b)$ de coordenadas enteras $0\leq a,b\lt n$. Demostrar que podemos encontrar $n$ puntos en $S$ de forma que no haya tres alineados ni cuatro que sean los vértices de un paralelogramo.

Consideremos el polinomio $p(x)=x^2+x+1$. Demostrar que, para todo entero positivo $n$, los números $p(n),p(p(n)),p(p(p(n))),\ldots$ son primos relativos dos a dos.

Demostrar que existe un valor real de $k$ tal que se pueden encontrar $1978$ cuadrados de tamaños distintos con todos sus vértices sobre la gráfica de la función $y=k\,\mathrm{sen}(x)$.

Dado un conjunto $K_0$ de puntos del espacio, se define la sucesión $K_1,K_2,\ldots$ de forma que $K_{n+1}$ contiene todos los puntos de $K_n$ junto con sus simétricos respecto de otros puntos de $K_n$.

1. Si $K_0$ está formado por dos puntos $A$ y $B$ a distancia $1$, determinar los valores de $n$ para los que $K_n$ contiene un punto a $1000$ unidades de distancia de $A$.
2. Si $K_0$ está formado por los vértices de un triángulo equilátero de lado $1$, encontrar el área del menor polígono convexo que contiene a $n$.
3. Si $K_0$ está formado por los vértices de un tetraedro regular de volumen $1$, sea $H_n$ el menor poliedro convexo que contiene a $K_n$. Determinar el volumen y el número de caras de $H_n$.

Probar que existe una sucesión infinita de números reales $x_1,x_2,x_3,\ldots$ que cumple las siguientes dos condiciones:

• Existe $M>0$ tal que $|x_n|\lt M$ para todo $n$.
• $|x_m-x_n|\gt\frac{1}{m-n}$ para todo $m$ y $n$.

Comenzamos con el par ordenado $(5,19)$ y podemos añadir más pares ordenados de acuerdo a las siguientes reglas

• Si tenemos el par $(2a,2b)$, podemos añadir el par $(a,b)$.
• Si tenemos el par $(a,b)$, podemos añadir el par $(a+1,b+1)$.
• Si tenemos los pares $(a,b)$ y $(b,c)$, podemos añadir el par $(a,c)$.

¿Podemos llegar a obtener el par $(1,50)$? ¿Y el par $(1,100)$? Si empezamos con el par $(a,b)$ en lugar de $(5,19)$, ¿qué pares de la forma $(1,m)$ se pueden obtener?

Sea $n\gt 3$ un entero y sea $S$ el conjunto de puntos $(a,b)$ de coordenadas enteras $0\leq a,b\lt n$. Demostrar que podemos encontrar $n$ puntos en $S$ de forma que no haya tres alineados ni cuatro que sean los vértices de un paralelogramo.

Dados $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales, definimos $\displaystyle b_k=\frac{a_1+a_2+\ldots+a_k}{k}$ para $1\leq k\leq n$. Sean \begin{align*} C&=(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+\ldots+(a_n-b_n)^2,\\ D&=(a_1-b_n)^2+(a_2-b_{n-1})^2+\ldots+(a_n-b_1)^2.\\ \end{align*} Demostrar que $C\leq D\leq 2C$.

Consideremos números enteros $a_n,b_n,c_n,d_n$ tales que \[(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{2}+c_n\sqrt{3}+d_n\sqrt{6}.\] Hallar los límites, cuando $n$ tiende a infinito, de $\frac{b_n}{a_n}$, $\frac{c_n}{a_n}$ y $\frac{d_n}{a_n}$.