Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se tienen cinco números reales $a,b,c,d,e$ tales que \[\left.\begin{array}{r} a+b+c+d+e=18\\ a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16 \end{array}\right\}\] Hallar el máximo valor posible de $e$.

Se tienen dos cuadrados $ABCD$ y $A'B'C'D'$ que representan mapas de la misma región dibujados a distintas escalas y colocados uno encima del otro como se ve en la figura. Demostrar que existe un único punto $O$ del mapa pequeño que coincide con el punto $O'$ del mapa grande que representa el mismo punto de la región que $O$. Además, dar una construcción con regla y compás para obtener geométricamente el punto $O$.

Diremos que un entero $n$ es bueno si podemos escribir $n=a_1+a_2+\ldots+a_k$, donde $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son enteros (no necesariamente distintos) tales que \[\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}=1.\] Sabiendo que todos los enteros del $33$ al $73$ son buenos, demostrar que todo entero mayor o igual que $33$ es bueno.

Nueve matemáticos se encuentran en un congreso internacional y descubren que entre cualesquiera tres de ellos, al menos dos saben hablar un mismo idioma. Si cada uno de ellos sabe hablar como máximo tres idiomas, demostrar que hay al menos tres matemáticos que hablan el mismo idioma.