Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $T$ un triángulo isósceles. Otro triángulo isósceles $T'$ tiene un vértice en cada lado de $T$. Determinar el menor valor posible de la razón $\mathrm{Área}(T')/\mathrm{Área}(T)$.

Un saltamontes va saltando por puntos del primer cuadrante del plano. Desde un punto $(x,y)$ puede elegir saltar al punto $(x+1,y-1)$ o al punto $(x-5,y+7)$, pero no puede abandonar el primer cuadrante. Determinar el conjunto de puntos $(x,y)$ desde los cuales nunca puede alcanzar una distancia mayor que $1000$ al origen.

En un grupo de personas, todo el mundo tiene menos de $4$ enemigos. Suponiendo que si A es enemigo de B, entonces B también es enemigo de A, demostrar que se puede dividir el grupo en dos partes de forma que cada persona tenga a lo sumo un enemigo en su parte.

Sea $X$ un conjunto finito de puntos del plano y elijamos un conjunto $S$ de vectores con origen y extremo en puntos de $X$. Si para todo punto $A\in X$ hay tantos vectores en $S$ con origen en $A$ como vectores con extremo en $A$, demostrar que la suma de todos los vectores de $S$ es cero.

Determinar el menor número de piezas que se deben colocar en un tablero de ajedrez $8\times 8$ para que cualquier fila, cualquier columna y cualquiera de las 30 diagonales tenga al menos una pieza. Responder a la misma pregunta en un tablero $n\times n$.

Sean $a$ y $b$ números reales. Encontrar todos los números reales $x$ e $y$ que verifican el siguiente sistema de ecuaciones: \[\left\{\begin{array}{l} x-y\sqrt{x^2-y^2}=a\sqrt{1-x^2+y^2}\\ y-x\sqrt{x^2-y^2}=b\sqrt{1-x^2+y^2} \end{array}\right.\]

Un conjunto de alfombras cuadradas tienen área total $4$. Demostrar que se puede recubrir con ellas un cuadrado de área $1$.

Sea $T$ un triángulo isósceles. Otro triángulo isósceles $T'$ tiene un vértice en cada lado de $T$. Determinar el menor valor posible de la razón $\mathrm{Área}(T')/\mathrm{Área}(T)$.

En la pizarra están escritos los números $0$ y $1$. Podemos escribir en la pizarra la media aritmética de otros números que ya estén escritos en la pizarra, siempre que dicha media no esté ya escrita.

1. Demostrar que puede llegar escribirse el número $\frac{1}{5}$
2. Demostrar que puede llegar a escribirse cualquier número racional entre $0$ y $1$.

En un grupo de personas, todo el mundo tiene menos de $4$ enemigos. Suponiendo que si A es enemigo de B, entonces B también es enemigo de A, demostrar que se puede dividir el grupo en dos partes de forma que cada persona tenga a lo sumo un enemigo en su parte.

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales en el intervalo $[0,1]$. Probar que \[(x_1+x_2+\ldots+x_n+1)^2\geq 4(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2).\]

Sean $m$ y $n$ enteros positivos primos entre sí. El intervalo $[0,1]$ se divide en $m+n$ subintervalos iguales. Demostrar que cada uno de ellos, excepto el primero y el último, contienen exactamente uno de los números \[\frac{1}{m},\frac{2}{m},\ldots,\frac{m-1}{m},\frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n-1}{n}.\]

Dado un punto $O$ en el espacio, consideremos $1979$ rectas $L_1,L_2,\ldots,L_{1979}$ que pasan por $O$ y no hay dos que sean perpendiculares entre sí. Dado un punto $A_1$ en $L_1$ distinto de $O$, demostrar que podemos encontrar puntos $A_n$ en $L_n$ para $2\leq n\leq 1979$ tales que $L_n$ es perpendicular a la recta $A_{n-1}A_{n+1}$ para $1\leq n\leq 1979$, donde extendemos cíclicamente $A_0=A_{1979}$ y $A_{1980}=A_1$

Encontrar una sucesión $a_1,a_2,\ldots,a_{25}$ de ceros y unos tales que las siguientes $25$ sumas son todas impares: \begin{align*} a_1a_1+a_2a_2+\ldots+a_{25}a_{25},\\ a_1a_2+a_2a_3+\ldots+a_{24}a_{25},\\ a_1a_3+a_2a_4+\ldots+a_{23}a_{25},\\ \vdots\\ a_1a_{24}+a_2a_{25},\\ a_1a_{25}. \end{align*} Probar que se puede encontrar una sucesión similar de $n$ términos para algún $n\gt 1000$.

Se tiene una sucesión decreciente infinita de números reales $x_1\geq x_2\geq x_3\geq\ldots$ que cumple que \[x_1+\frac{x_4}{2}+\frac{x_9}{3}+\ldots+\frac{x_{n^2}}{n}\leq 1\] para todo entero positivo $n$. Demostrar que se cumple que \[x_1+\frac{x_2}{2}+\frac{x_3}{3}+\ldots+\frac{x_n}{n}\leq 3.\]

En la pizarra están escritos los números $0$ y $1$. Podemos escribir en la pizarra la media aritmética de otros números que ya estén escritos en la pizarra, siempre que dicha media no esté ya escrita.

1. Demostrar que puede llegar escribirse el número $\frac{1}{5}$
2. Demostrar que puede llegar a escribirse cualquier número racional entre $0$ y $1$.

En un grupo de personas, todo el mundo tiene menos de $4$ enemigos. Suponiendo que si A es enemigo de B, entonces B también es enemigo de A, demostrar que se puede dividir el grupo en dos partes de forma que cada persona tenga a lo sumo un enemigo en su parte.

Sean $a$ y $b$ números reales. Encontrar todos los números reales $x$ e $y$ que verifican el siguiente sistema de ecuaciones: \[\left\{\begin{array}{l} x-y\sqrt{x^2-y^2}=a\sqrt{1-x^2+y^2}\\ y-x\sqrt{x^2-y^2}=b\sqrt{1-x^2+y^2} \end{array}\right.\]

Un conjunto de alfombras cuadradas tienen área total $4$. Demostrar que se puede recubrir con ellas un cuadrado de área $1$.

Un cuadrilátero convexo queda dividido por sus diagonales en cuatro triángulos cuyas circunferencias inscritas tienen todas el mismo radio. Demostrar que el cuadrilátero es un rombo.

Se consideran $n$ puntos $A_1,A_2,\ldots,A_n$ sobre una misma recta y en este orden, de forma que los segmentos $A_1A_2,A_2A_3,\ldots,A_{n-1}A_n$ tienen todos longitud menor que $1$. Queremos pintar de rojo $k-1$ de los puntos $A_2,\ldots,A_{n-1}$ de forma que la diferencia entre las longitudes de dos cualesquiera de los $k$ segmentos en que los puntos rojos dividen a $A_1A_n$ sea menor que $1$.

1. Demostrar que esto es posible para $k=3$.
2. Demostrar que esto es posible para todo entero $k\lt n-1$.