Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar todas las soluciones enteras no negativas $(n_1,n_2,\ldots,n_{14})$, salvo permutaciones, de la ecuación diofántica \[n_1^4+n_2^4+\ldots+n_{14}^4=1599.\]

Sea $N$ el polo norte de una esfera, sean $A$ y $B$ puntos en un círculo máximo que pasa por $N$ y que equidistan de $N$ y sea $C$ un punto del ecuador. Demostrar que el círculo máximo que pasa por $C$ y $N$ es la bisectriz del triángulo esférico $ABC$.

Sea $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ una sucesión de enteros positivos. Un término de la sucesión se elige de forma aleatoria y supongamos que su valor es $a$. Otro término se elige aleatoriamente, independientemente del primero, y supongamos que su valor es $b$. Finalmente, se elige otro término independientemente de los otros dos y su valor es $c$. Demostrar que la probabilidad de que $a+b+c$ es divisible por $3$ es al menos $\frac{1}{4}$.

Un punto $P$ se encuentra en el ángulo determinado por las semirrectas $OA$ y $OB$ con vértice en $O$. Encontrar dos puntos, $Q$ en $OA$ y $R$ en $OB$, que estén alineados con $P$ y para los que \[\frac{1}{PQ}+\frac{1}{PR}\] toma su valor máximo.

Sean $A_1,A_2,\ldots,A_{n+1}$ subconjuntos distintos de $\{1,2,\ldots,n\}$ todos ellos con exactamente tres elementos. Demostrar que hay dos de los subconjuntos cuya intersección tiene exactamente un elemento.