Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se escriben consecutivamente todos los números enteros del $19$ al $80$ para formar el número $N=19202122\ldots 7980$. Determinar si $N$ es divisible por $1980$.

Se divide un cuadrado en $n$ bandas paralelas al lado inferior del cuadrado y todas ellas de anchura un número entero. La suma de las anchuras de las bandas que tienen anchura impar es igual a la suma de las anchuras de las bandas que tienen anchura par. Se traza una de las diagonales del cuadrado, la cual divide a cada banda en dos partes: izquierda y derecha. Demostrar que la suma de las áreas de las partes izquierdas de las bandas que tienen anchura impar es igual a la suma de las áreas de las partes derechas de las bandas que tienen anchura par.

Se quieren transportar $35$ contenedores a una estación espacial, los cuales pesan un total de $18$ toneladas. En cada viaje, se pueden llevar tantos contenedores como se quiera siempre que no superen las 3 toneladas en conjunto. Sabiendo que es posible llevar cualquier subconjunto de $34$ contenedores en $7$ viajes, demostrar que debe ser posible también llevar los $35$ contenedores en $7$ viajes.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $BC$ y $CD$, respectivamente. Probar que \[\mathrm{Área}(ABCD)\lt\frac{(AM+AN)^2}{2}.\]

Consideremos $1980$ vectores en el plano tales que la suma de $1979$ cualesquiera de ellos es proporcional al vector restante y no todos los vectores son proporcionales entre sí. Demostrar que la suma de todos los vectores es cero.

Sea $f(n)$ la suma de $n$ y sus dígitos (por ejemplo, se tiene que $f(34)=34+3+4=41$).

1. ¿Existe algún entero $n$ tal que $f(n)=1980$?
2. Demostrar que para todo entero positivo $m$ se puede encontrar $n$ tal que $f(n)=m$ o bien $f(n)=m+1$.

Tenemos un papel cuadriculado infinito con algunos de sus cuadrados coloreados de rojo de forma que cualquier rectángulo $2\times 3$ o $3\times 2$ contiene exactamente dos cuadrados rojos. Determinar el número de cuadrados rojos que puede haber en un rectángulo $9\times 11$.

Hay una epidemia de gripe en la ciudad de los elfos. Esta epidemia sigue un cierto patrón: un elfo que se infecta un día, está enfermo al día siguiente, se recupera y es inmune el tercer día y sigue recuperado pero ya no es inmune a partir del cuarto día. Cada día, todos los elfos que no están enfermos visitan a todos sus amigos enfermos, contagiándose si no son inmunes. El primer día, ningún elfo es inmune y uno o más elfos se han infectado de una fuente externa (en los siguientes días, no hay fuentes de contagio externas).

1. Demostrar que la epidemia se acaba algún día independientemente de cuántos elfos hay, de cuántos amigos tiene cada uno y de cuántos de ellos se han infectado en el primer día.
2. Demostrar que si uno o más elfos es inmune en el primer día, entonces sí es posible que la epidemia continúe indefinidamente.

Determinar si existen enteros positivos $a,b,c$ tales que \[a^4=b^3+c^2.\]

Dado un punto $P$ en un diámetro $AB$ de una circunferencia $\Gamma$, hallar la cuerda $CD$ que pasa por $P$ y que maximiza el área del cuadrilátero $ABCD$.

Se quieren transportar $35$ contenedores a una estación espacial, los cuales pesan un total de $18$ toneladas. En cada viaje, se pueden llevar tantos contenedores como se quiera siempre que no superen las 3 toneladas en conjunto. Sabiendo que es posible llevar cualquier subconjunto de $34$ contenedores en $7$ viajes, demostrar que debe ser posible también llevar los $35$ contenedores en $7$ viajes.

Hay varias localidades alrededor del Gran Lago. Algunos pares de asentamientos están conectados directamente por un servicio regular de ferri. Dadas dos localidades distintas $A$ y $B$, si $A$ está conectado directamente con $X$ si y sólo si $B$ no está directamente conectado con $Y$, donde $B$ es la localidad contigua a $A$ e $Y$ es la localidad contigua a $X$, ambas en sentido contrario a las agujas del reloj. Demostrar que se puede viajar entre cualesquiera dos localidades mediante a lo sumo tres viajes en ferri.

Tenemos un papel cuadriculado infinito con algunos de sus cuadrados coloreados de rojo de forma que cualquier rectángulo $2\times 3$ o $3\times 2$ contiene exactamente dos cuadrados rojos. Determinar el número de cuadrados rojos que puede haber en un rectángulo $9\times 11$.

Dado un entero $m$, consideremos una sucesión $\{a_n\}$ de enteros positivos tales que $a_{n+1}$ es la suma de $a_n$ con el producto de sus dígitos y $a_1=m$. Determinar si existe $m$ tal que $\{a_n\}$ no esté acotada.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Una recta paralela a $AC$ corta a $AB$ en $M$ y a $BC$ en $P$. Sean $D$ el centro del triángulo equilátero $BMP$ y $E$ el punto medio de $AP$. Encontrar los ángulos del triángulo $DEC$.

Una caja con forma de ortoedro tiene aristas $x\lt y\lt z$. Su perímetro es $p=4(x+y+z)$, su superficie es $s=2(xy+yz+zx)$ y su diagonal principal tiene longitud $d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Demostrar que \[3x\lt \frac{p}{4}-\sqrt{d^2-\frac{s}{2}}\lt 3z.\]

Un número $N$ tiene seis dígitos, todos ellos distintos y distintos de cero. Si $N$ es divisible por $37$, demostrar que se pueden obtener al menos otros $23$ números que también son divisibles por $37$ permutando dígitos de $N$.

Dado un punto $P$ en un diámetro $AB$ de una circunferencia $\Gamma$, hallar la cuerda $CD$ que pasa por $P$ y que maximiza el área del cuadrilátero $ABCD$.

Encontrar todas las soluciones reales del sistema \[\left\{\begin{array}{l} \mathrm{sen}(x)+2\mathrm{sen}(x+y+z)=0,\\ \mathrm{sen}(x)+3\mathrm{sen}(x+y+z)=0,\\ \mathrm{sen}(x)+4\mathrm{sen}(x+y+z)=0.\end{array}\right.\]

Hay varias localidades alrededor del Gran Lago. Algunos pares de asentamientos están conectados directamente por un servicio regular de ferri. Dadas dos localidades distintas $A$ y $B$, si $A$ está conectado directamente con $X$ si y sólo si $B$ no está directamente conectado con $Y$, donde $B$ es la localidad contigua a $A$ e $Y$ es la localidad contigua a $X$, ambas en sentido contrario a las agujas del reloj. Demostrar que se puede viajar entre cualesquiera dos localidades mediante a lo sumo tres viajes en ferri.

Sea $S$ un conjunto cuyos elementos son números enteros positivos. El elemento mínimo de $S$ es $1$ y su máximo es $100$. Todos los elementos de $S$ salvo el $1$ es la suma de dos elementos distintos de $S$ o bien el doble de un elemento de $S$. ¿Cuál es el mínimo número de elementos que puede tener $S$?

Demostrar que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que \[\lfloor a^{3/2}\rfloor+\lfloor b^{3/2}\rfloor=n\] tiene al menos $1980$ soluciones enteras distintas.

Sea $ABCD$ un tetraedro tal que $\angle ACB=\angle ADB=90^\circ$. Si $k$ es el ángulo que forman las rectas $AC$ y $BD$, demostrar que \[\cos(k)\lt\frac{CD}{AB}.\]

Consideremos una sucesión $\{x_n\}$ de números en el intervalo $(0,1)$ tal que $x_{n+1}$ se obtiene reordenando los dígitos de $x_n$ que ocupan las posiciones $n+1,n+2,n+3,n+4,n+5$ tras la coma decimal.

1. Demostrar que dicha sucesión es convergente.
2. Si $x_0$ es racional, ¿puede ser el límite irracional?
3. Encontrar un valor de $x_0$ tal que todo elemento de la sucesión sea irracional sin importar cómo se hagan las reordenaciones.