Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Una balanza tiene sus dos brazos de distinta longitud y peso. Se quieren pesar tres objetos: el primero se equilibra con una pesa $A$ cuando se coloca en el platillo de la izquierda y con una pesa $a$ cuando se coloca en el platillo de la derecha; el segundo objeto se equilibra con una pesa $B$ cuando se coloca en el platillo de la izquierda y con una pesa $b$ cuando se coloca en el platillo de la derecha; el tercer objeto se equilibra con una pesa $C$ cuando se coloca en el platillo de la izquierda. ¿Cuál es el peso real de este tercer objeto?

Encontrar el máximo número de ternas de números en progresión aritmética que puede contener una sucesión de $n$ números reales distintos.

Sean $A,B,C,x,y,z$ números reales tales que $A+B+C$ es un múltiplo entero de $\pi$ y \[x\,\mathrm{sen}(A)+y\,\mathrm{sen}(B)+z\,\mathrm{sen}(C)=x^2\,\mathrm{sen}(2A)+y^2\,\mathrm{sen}(2B)+z^2\,\mathrm{sen}(2C)=0.\] Demostrar que, para todo entero positivo $n$, se tiene que \[x^n\,\mathrm{sen}(nA)+y^n\,\mathrm{sen}(nB)+z^n\,\mathrm{sen}(nC)=0.\]

Si un tetraedro admite una esfera inscrita que es tangente a cada una de sus caras en su circuncentro, demostrar que el tetraedro es regular.

Si $0\leq x,y,z\leq 1$ son números reales, demostrar que \[\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}\leq 1-(1-x)(1-y)(1-z).\]