Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un tablero de ajedrez de lado $1$ se coloca encima de otro tablero idéntico que está rotado $45^\circ$ respecto de su centro común. Determinar el área que está pintada de negro en ambos tableros.

Sea $AB$ un diámetro de una circunferencia $C$ y sean $M$ y $N$ dos puntos cualesquiera sobre $C$. Se consideran cuerda s $MA'$ y $MB'$ perpendiculares a $NA$ y $NB$, respectivamente. Demostrar que $AA'$ y $BB'$ son paralelas.

Encontrar enteros $m$ y $n$ tales que $m$ es el producto de $n$ enteros positivos consecutivos y también el producto de $n+2$ enteros positivos consecutivos. Demostrar que esto no puede ocurrir si $n=2$.

Consideremos una matriz $4\times k$ que cumple la siguiente propiedad: si el elemento que está en la fila $2\leq i\leq 4$ y la columna $1\leq j\leq k$ es igual a $n$, entonces el elemento que está en la fila $i+1$ y la columna $j$ es el número de veces que aparece $n$ en la fila $i$ y en las columnas de la $1$ a la $k$. Un ejemplo de una tal matriz es el siguiente: \[\begin{bmatrix} 7&1&2&1&7&1&1\\ 1&1&1&2&2&3&4\\ 1&2&3&1&2&1&1\\ 1&1&1&2&2&3&4 \end{bmatrix}\] Demostrar que la segunda y la cuarta filas son necesariamente idénticas.

Sean $ACPH$, $AMBE$, $AHBT$, $BKXM$ Y $CKXP$ paralelogramos, donde los vértices están etiquetados en sentido contrario a las agujas del reloj. Demostrar que $ABTE$ también es un paralelogramo.

Encontrar todas las soluciones enteras positivas de la ecuación \[x^3-y^3=xy+61.\]

Dieciocho equipos juegan un torneo. Hasta el momento, cada equipo ha jugado exactamente $8$ veces, cada una de las cuales ha jugado contra un equipo distinto. Demostrar que hay tres equipos tales que ningún par de ellos ha jugado aún entre sí.

Sea $ABC$ un triángulo y tomemos un punto $A'$ del lado $BC$ tal que $BA'=\frac{1}{4}BC$. Del mismo modo tomamos $B'$ en el lado $CA$ tal que $CB'=\frac{1}{4}CA$ y $C'$ en el lado $AB$ tal que $AC'=\frac{1}{4}AB$. Demostrar que el perímetro de $A'B'C'$ está entre $\frac{1}{2}$ y $\frac{3}{4}$ del perímetro de $ABC$.

Sea $S$ el conjunto de los puntos $(x,y)$ del plano que cumplen \[x^2-2x+a\leq y\leq -x^2\] para cierto parámetro real $a$. Hallar el menor área posible que puede tener un rectángulo con lados paralelos a los ejes tal que $S$ queda en su interior.

Sean $ABC,CDE,EFG$ triángulos equiláteros de forma que los vértices están etiquetados en el sentido contrario a las agujas del reloj. Si $A,D,G$ están alineados y $AD=DG$, demostrar que $BFD$ es un triángulo equilátero.

En una cierta ciudad viven $1000$ personas. Todas las noches cada persona le dice a sus amigos lo que ha escuchado durante el día. Mediante este proceso, llega un día en que todo el mundo sabe todas las noticias. Demostrar que se pueden elegir a $90$ personas de forma que, si se les da a todas ellas alguna noticia, entonces todo el mundo conocerá esta noticia pasados $10$ días.

Sean $a$ y $b$ números reales tales que la inecuación \[a\cos(x)+b\cos(3x)\gt 1\] no tiene soluciones reales. Demostrar que $|b|\leq 1$.

Los números reales positivos $x$ e $y$ cumplen que $x^3+y^3=x-y$. Demostrar que $x^2+y^2\lt 1$.

Una persona dibuja un polígono convexo en el interior de un círculo de radio $1$. Otra persona intenta copiar este polígono empezando en uno de sus vértices y después dibujando los lados sucesivamente. Esta segunda persona copia los ángulos perfectamente pero comete un error en la longitud de cada lado. El cociente entre la longitud que pinta y la original está entre $1-p$ y $1+p$ para cierto parámetro $p\gt 0$. Como resultado, el último vértice que pinta, que debería cerrar el polígono, termina a distancia $d$ del punto inicial. Demostrar que $d\lt 4p$.

Tenemos un número entero escrito en cada vértice de un cubo. En cada movimiento se puede sumar $1$ a los números que están en dos vértices adyacentes (conectados por una arista del cubo). Determinar en cada uno de los siguientes casos si se puede hacer que todos los números sean iguales mediante una sucesión finita de movimientos.

1. Todos los números iniciales son cero excepto en un vértice, donde tenemos un uno.
2. Todos los números iniciales son cero excepto en dos vértices diagonalmente opuestos en una cara del cubo, donde tenemos dos unos.
3. Los números iniciales son $1,2,3,4$ en la cara inferior del cubo (en este orden) y $6,7,4,5$ en los vértices correspondientes de la cara superior.

Encontrar $21$ enteros cosecutivos tales que todos ellos tienen algún factor primo menor que $17$.

Sean $a$ y $b$ números reales tales que la inecuación \[a\cos(x)+b\cos(3x)\gt 1\] no tiene soluciones reales. Demostrar que $|b|\leq 1$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Sean $K$ y $M$ los puntos medios de $AB$ y $CD$, respectivamente, y sean $L$ y $N$ puntos de los lados $BC$ y $AD$, respectivamente, tales que $KLMN$ es un rectángulo. Demostrar que el área de este rectángulo es la mitad del área de $ABCD$.

Hallar las sucesiones infinitas $\{a_1,a_2,\ldots\}$ de enteros positivos que verifican que $a_n\leq n^{3/2}$ para todo $n$ y $m-n$ divide a $a_m-a_n$ para todo $m\gt n$.

Determinar si es posible colorear de blanco la mitad de las casillas de una tabla rectangular $m\times n$ (alguno de los enteros $m$ o $n$ debe ser par) y la otra mitad de negro de forma que en cada fila y en cada columna más de $\frac{3}{4}$ de las casillas sean del mismo color.

Cada uno de los enteros entre $100$ y $999$ está escrito en una carta y las cartas se colocan en un mazo barajadas en un orden aleatorio. Tomamos las cartas del mazo de una en una y las vamos apilando en 10 montones de acuerdo a cuál es su último dígito. Después apilamos los diez montones en uno solo poniendo el montón de las cartas que terminan en $9$ encima del montón de las que terminan en $8$, este a su vez encima del montón de las que terminan en $7$ y así sucesivamente. A continuación, tomamos las cartas del nuevo mazo de una en una y las apilamos en 10 montones de nuevo pero ahora atendiendo al dígito de las decenas y creamos un único montón igual que antes. Volvemos a hacer lo mismo una vez más usando ahora el dígito de las centenas. ¿Qué podemos decir del orden de las cartas en el mazo final?

Dados seis puntos en el interior de un rectángulo $3\times 4$, probar que siempre podemos encontrar dos de ellos cuya distancia es menor o igual que $\sqrt{5}$.

Hallar el menor valor posible de \[4+x^2y^4+x^4y^2-3x^2y^2,\] siendo $x$ e $y$ números reales. Demostrar que este polinomio no se puede expresar como suma de cuadrados de polinomios.

Sea $ABCDEF$ un prisma cuyas bases $ABC$ y $DEF$ son triángulos equiláteros congruentes y de forma que $AD,BE,CF$ son las aristas laterales. Encontrar los puntos de $ABC$ que equidistan de las rectas $AE$, $BF$ y $CD$.