Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que si $n$ no es un múltiplo de $3$, entonces el ángulo $\frac{\pi}{n}$ puede trisecarse mediante regla y compás.

En un país hay tres medios de transporte: tren, autobús y avión. Determinar el mayor número de ciudades que pueden cumplir los siguientes criterios:

• Entre cada par de ciudades hay una conexión directa por exactamente uno de los tres medios.
• Al menos un par de ciudades está conectada por cada uno de los tres medios de transporte.
• Ninguna ciudad está conectada a otras por los tres medios de transporte.
• No existen tres ciudades $A,B,C$ de forma que las tres conexiones $AB,BC,CA$ sean por medios de transporte distintos.

Demostrar que, en un triángulo de ángulos $A,B,C$, se cumple que \[\frac{3\sqrt{3}}{2}\geq\sin(3A)+\mathrm{sen}(3B)+\mathrm{sen}(3C)\geq -2.\] ¿Cuándo se alcanzan las igualdades?

Un polígono convexo tiene $n$ lados. Cada uno de sus vértices está unido por un segmento a un punto $P$ que no está en el mismo plano que el polígono. Si $A,B,C$ son vértices adyacentes del polígono, consideremos el ángulo que forman los planos $PAB$ y $PBC$. Si la suma de los $n$ ángulos obtenidos de esta forma coincide con la suma de los $n$ ángulos interiores del polígono, demostrar que $n=3$.

Demostrar que, para cualquier número real positivo $x$, se cumple que \[\lfloor nx\rfloor\geq\sum_{k=1}^n\frac{\lfloor kx\rfloor}{k},\] donde $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera de $x$.