Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $M$ y $K$ dos puntos en la circunferencia de centro $O_1$ y radio $r_1$. Consideremos una circunferencia de centro $O_2$ y radio $r_2$ inscrita en el ángulo $\angle MO_1K$. Hallar el área del cuadrilátero $MO_1KO_2$.

Consideremos dos sucesiones $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ tales que cualquiera de sus elementos (a partir del tercero) son suma de los dos que lo preceden y los primeros elementos son $a_1=b_2=1$ y $a_2=b_1=1$. ¿Cuántos enteros aparecen en ambas sucesiones (posiblemente en posiciones distintas)?

Se escriben números reales no negativos en los vértices de un cubo tales que su suma es $1$. Dos jugadores por turnos eligen caras del cubo con la condición de que no pueden elegir una cara paralela a una que se ha elegido previamente. Probar que el primer jugador puede jugar de forma que el número en el vértice común a las tres caras elegidas sea menor o igual que $\frac{1}{6}$.

Tenemos una lista con los números del $1$ al $1982$ en cierto orden. Mirando consecutivamente los pares de números adyacentes de izquierda a derecha, los permutamos si no están en orden creciente. Después repetimos el mismo proceso pero recorriendo los pares adyacentes de derecha a izquierda. Se observa que al terminar el proceso, el número que estaba originalmente en la posición $100$ de la lista continúa en la posición $100$. ¿Cuál es dicho número?

El río Cucumber tiene orillas paralelas a distancia de $1$ m una de la otra y también tiene algunas islas con un perímetro total de $8$ metros. ¿Es posible cruzar el río en barco recorriendo un máximo de $3$ m, independientemente del punto en el que se empiece y de la distribución de las islas?

Consideremos la parábola $y=x^2$ dibujada en un plano donde se han borrado los ejes de coordenadas. ¿Es posible recuperar dichos ejes mediante regla y compás?

Se escribe un entero en cada casilla de un tablero $n\times n$ de forma que la diferencia entre los números escrito en dos casillas adyacentes (es decir, que comparten uno de sus lados) es $0$ o $1$. Demostrar que podemos encontrar al menos $n$ casillas en las que se ha escrito el mismo número.

Hubo un día en que tres niños visitaron una biblioteca por primera vez. El primer niño decidió ir un día sí y otro no, el segundo niño decidió ir cada tres días y el tercero cada cuatro días. Sin embargo, el bibliotecario les dijo que la biblioteca cerraba los miércoles, así que decidieron que si les tocaba ir un miércoles lo pasarían al jueves y contarían de nuevo empezando en dicho jueves. Obedeciendo estas reglas, más adelante hubo un lunes en el que todos coincidieron en la biblioteca. ¿En qué día de la semana visitaron por primera vez la biblioteca?

Dado un paralelogramo $ABCD$ que no es un rombo, consideramos un punto $M$ tal que $AC$ es la bisectriz del ángulo $\angle DAM$ y $BD$ es la bisectriz del ángulo $\angle CBM$. Hallar la relación $\frac{AM}{BM}$ en función de $k=\frac{AC}{BD}$.

Dado un entero $k\geq 1$, se colocan $3k$ puntos distintos en una circunferencia que la dividen en $3k$ arcos, de los cuales $k$ tienen longitud $1$, $k$ tienen longitud $2$ y $k$ tienen longitud $3$. Demostrar que dos de los puntos son los extremos de un diámetro de la circunferencia.

Sea $M$ un punto interior a un tetraedro rectángulo. Demostrar que existen dos vértices $A$ y $B$ del tetraedro tales que $\cos(\angle AMB)\leq\frac{-1}{3}$.

Demostrar que \[2^{x^{1/12}}+2^{x^{1/4}}\geq 2^{1+x^{1/6}}\] para todo número real positivo $x$.

Determinar el mayor número de enteros distintos que podemos elegir entre $1$ y $1982$ de forma que no hayamos elegido tres números distintos $a,b,c$ tales que $a=bc$.

En cada casilla de una cuadrícula infinita se escribe un número real. Demostrar que existe una casilla en la que el número escrito es menor o igual que los números de al menos cuatro de sus ocho casillas vecinas.

Dada una sucesión $a_1,a_2,\ldots,a_n$ de números reales, demostrar que siempre podemos eliminar algunos de ellos de forma que se cumplan las siguientes dos propiedades simultáneamente:

• Para cada $i\leq n-2$ al menos uno de los números $a_i,a_{i+1},a_{i+2}$ se ha borrado.
• La suma de los valores absolutos de los números que quedan es mayor o igual que $\frac{1}{6}$ de la suma de los valores absolutos de los números originales.

Se consideran tres números reales $0\lt a,b,c\lt\frac{\pi}{2}$ tales que \[\cos(a)=a,\qquad \mathrm{sen}(\cos(b))=b,\qquad \cos(\sin(c))=c.\] ¿Cuáles son el mayor y el menor de los tres números?

Dado un paralelogramo $ABCD$ que no es un rombo, consideramos un punto $M$ tal que $AC$ es la bisectriz del ángulo $\angle DAM$ y $BD$ es la bisectriz del ángulo $\angle CBM$. Hallar la relación $\frac{AM}{BM}$ en función de $k=\frac{AC}{BD}$.

Dada una poligonal cerrada $M$ con un número impar de vértices $A_1,A_2,\ldots,A_{2n+1}$ (en este orden), denotaremos por $S(M)$ a la poligonal cerrada cuyos vértices $B_1,B_2,\ldots,B_{2n+1}$ (en este orden) son los puntos medios de los lados de $M$, es decir, $B_1$ es el punto medio de $A_1A_2$, $B_2$ el punto medio de $A_2A_3$ y así sucesivamente hasta $B_{2n+1}$, que es el punto medio de $A_{2n+1}A_1$. Demostrar que en la sucesión \[S(M),S(S(M)),S(S(S(M))),\ldots\] aparece una poligonal que es homotética a la poligonal original $M$.

En un tablero $n\times n$ se han marcado $n-1$ casillas. Demostrar que, intercambiando filas entre sí e intercambiando columnas entre sí, podemos conseguir que todas las casillas marcadas estén por debajo de una diagonal del tablero.

Dado un número real $a$, denotaremos por $\{a\}$ la diferencia en valor absoluto entre $a$ y el entero más cercano a $a$ (por ejemplo, $\{3.8\}=0.2$ y $\{-5.4\}=0.4$). Demostrar que \[\{a\}\leq\frac{|a(a-1)\cdots(a-n)|}{n!2^n},\] para cualquier número real $a$.

Un tetraedro $T'$ tiene todos sus vértices en el interior o sobre las caras de otro tetraedro $T$. Demostrar que la suma de las longitudes de las aristas de $T'$ es menor que $\frac{4}{3}$ de la suma de las longitudes de las aristas de $T$.