Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En una fiesta hay $1982$ personas y en cada grupo de cuatro de ellas hay al menos una que conoce a las otras tres. ¿Cuál es el mínimo número de personas en la fiesta que conocen a todos los demás?

Sea $S_r=x^r+y^r+z^r$ con $x,y,z\in\mathbb{R}$. Si $S_1=0$, demostrar que \[\frac{S_{m+n}}{m+n}=\frac{S_m}{m}\frac{S_n}{n}\] cuando $(m,n)$ es alguno de los pares $(2,3)$, $(3,2)$, $(2,5)$ o $(5,2)$. Determinar todos los pares $(m,n)$ para los que la relación anterior se cumple para cualesquiera $x,y,z\in\mathbb{R}$ tales que $S_1=0$.

Sea $A_1$ un punto en el interior de un triángulo equilátero $ABC$ y $A_2$ un punto en el interior del triángulo $A_1BC$. Demostrar que \[\mathrm{I.Q.}(A_1BC)\gt \mathrm{I.Q.}(A_2BC),\] donde $\mathrm{I.Q.}(F)=\mathrm{Área}(F)/\mathrm{Perímetro}(F)^2$ representa el cociente isoperimétrico de una figura $F$.

Demostrar que existe un entero positivo $k$ tal que $k2^n+1$ es compuesto para todo entero positivo $n$.

Sean $A,B;C$ puntos en el interior de una esfera $S$ tales que $AB$ y $AC$ son perpendiculares al diámetro de $S$ que pasa por $A$ y de forma que se pueden construir dos esferas que pasan por $A$, $B$ y $C$ que son ambas tangentes a $S$. Demostrar que la suma de los radios de estas dos esferas es igual al radio de $S$.