Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Una cuadrícula $4\times 4$ está formada por $16$ celdas de lado $1$ y tiene una longitud total de $40$. ¿Puede subdividirse la cuadrícula como unión de $8$ poligonales de longitud $5$? ¿Y como unión de $5$ poligonales de longitud $8$?

Se escriben tres números en la pizarra y se permite hacer la siguiente operación: sustituir uno de los números por la suma de los otros dos menos uno. Se observa que tras repetir un cierto número de veces la operación se llega a los números $\{17,1967,1983\}$. ¿Es posible que los números iniciales fueran $\{2,2,2\}$? ¿Y $\{3,3,3\}$?

Tres discos son tangentes exteriormente en los puntos $X,Y,Z$. Si se multiplican sus radios por $2\sqrt{3}$ mientras que sus centros quedan inalterados, demostrar que el triángulo $XYZ$ queda completamente cubierto por los nuevos discos.

Sea $S$ un conjunto de enteros comprendidos entre $n^2$ y $(n+1)^2$. Demostrar que no hay dos parejas distintas de elementos de $S$ que tengan el mismo producto.

Supongamos que $m,n,k$ son enteros positivos tales que $n^m$ divide a $m^n$ y $k^n$ divide a $n^k$. Demostrar que $k^m$ divide a $m^k$.

Llamaremos palabra a una cadena finita de letras A y B. Determinar si existe un conjunto formado por tres palabras de 4 letras, diez palabras de 5 letras, treinta palabras de seis letras y cinco palabras de 7 letras, de forma que ninguna palabra sea el comienzo de ninguna otra palabra del conjunto.

¿Es posible colocar un entero en cada casilla de un tablero infinito de forma que la suma de todos los enteros colocados en cualquier rectángulo $4\times 6$ o $6\times 4$ sea igual a $10$? ¿Y de forma que estas sumas siempre sean iguales a $1$?

Se eligen puntos $A_1,B_1,C_1$ en el interior de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente, de un triángulo $ABC$. Los segmentos $AA_1,BB_1,CC_1$ dividen a $ABC$ en cuatro triángulos y tres cuadriláteros más pequeños. Si los cuatro triángulos tienen la misma área, demostrar que los cuadriláteros también tienen la misma área. ¿Cuál es la razón entre el área de los cuadriláteros y la de los triángulos?

Hallar todas las soluciones del sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l}y^2=x^3-3x^2+2x,\\x^2=y^3-3y^2+2y.\end{array}\right.\]

Un número natural $k$ tiene $n$ dígitos en el sistema decimal. El número se redondea a las decenas, luego el resultado se redondea a las centenas y así sucesivamente $n-1$ veces. Demostrar que el número obtenido al final del proceso es menor que $\frac{18}{13}k$.

Nota: por ejemplo, si empezamos por $191$, obtenemos $190$ y finalmente $200$; si empezamos por $135$, luego $140$ y finalmente $100$.

Sea $D$ el punto medio del lado $AB$ en el triángulo $ABC$ y sean $E$ y $F$ puntos en los lados $AC$ y $BC$, respectivamente. Demostrar que el área del triángulo $DEF$ no es mayor que la suma de las áreas de los triángulos $ADE$ y $BDF$.

Definimos $a_n$ y $b_n$ como los últimos dígitos de $\lfloor 10^{n/2}\rfloor$ y $\lfloor 2^{n/2}\rfloor$, respectivamente. ¿Son estas sucesiones $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ periódicas a partir de cierto término en adelante?

Nota: como es usual, $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera de un número real $x$.

En un colegio se forman dos filas con el mismo número de niños y el mismo número de niñas en ambas. Si emparejamos las filas por orden (primero con primero, segundo con segundo,...), observamos que el número de parejas mixtas (niño-niña o niña-niño) es igual al número de parejas restantes (niño-niño o niña-niña). Demostrar que el número total de personas en el grupo es múltiplo de $8$.

Un rectángulo de lados $1$ y $k$ se divide en cuatro rectángulos mediante dos rectas paralelas a sus lados. Si uno de tales rectángulos tiene área mayor o igual que $1$ y otro tiene área mayor o igual que $2$, ¿cuál es el menor valor posible de $k$?

Dado un punto $O$ en el interior de un triángulo $ABC$, demostrar que \[S_A\cdot\overrightarrow{OA}+S_B\cdot\overrightarrow{OB}+S_C\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0},\] siendo $S_A,S_B,S_C$ las áreas de los triángulos $BOC,COA,AOB$, respectivamente.

Nota. Como es usual, $\overrightarrow{PQ}$ es el vector de origen $P$ y extremo $Q$ y $\overrightarrow{0}$ es el vector nulo.

Sea $m\geq 1$ un entero. Probar que, si tomamos $2m+1$ enteros distintos cualesquiera entre $-2m+1$ y $2m-1$, siempre podemos encontrar tres cuya suma es cero.

Dos ángulos agudos $\alpha$ y $\beta$ cumplen la condición \[\mathrm{sen}^2(\alpha)+\mathrm{sen}^2(\beta)=\mathrm{sen}(\alpha+\beta).\] Demostrar que $\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$.

Un número natural $k$ tiene $n$ dígitos en el sistema decimal. El número se redondea a las decenas, luego el resultado se redondea a las centenas y así sucesivamente $n-1$ veces. Demostrar que el número obtenido al final del proceso es menor que $\frac{18}{13}k$.

Nota: por ejemplo, si empezamos por $191$, obtenemos $190$ y finalmente $200$; si empezamos por $135$, luego $140$ y finalmente $100$.

Los puntos $A_1,B_1,C_1,D_1$ y $A_2,B_2,C_2,D_2$ son las proyecciones ortogonales de los vértices de un tetraedro $ABCD$ sobre dos planos. Demostrar que es posible mover uno de los planos para que las rectas $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ y $D_1D_2$ sean paralelas.

Dada una ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$, si tiene dos soluciones reales $A\leq B$, la podemos transformar en la ecuación $x^2+Ax+B=0$ y repetir el proceso. Demostrar que este proceso no puede repetirse indefinidamente pues llegamos en algún momento a una ecuación sin raíces reales. ¿Cuál es el número máximo posible de transformaciones hasta encontrar dicha ecuación sin raíces?

Supongamos que $m,n,k$ son enteros positivos tales que $n^m$ divide a $m^n$ y $k^n$ divide a $n^k$. Demostrar que $k^m$ divide a $m^k$.

Sean $D,E,F$ puntos interiores de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente, de un triángulo $ABC$. Sean $d_0,d_1,d_2,d_3$ las longitudes de los lados más largos de los triángulos $DEF,AFE,BDF,CDE$, respectivamente. Demostrar que \[d_0\geq \tfrac{\sqrt{3}}{2}\min\{d_1,d_2,d_3\}.\] Analizar en qué casos se obtiene una igualdad.

Sea $M$ un subconjunto de la recta real formado por la unión de $k$ segmentos disjuntos. Si $M$ tiene la propiedad de que, para cada $h\lt 1$ existen dos puntos de $M$ a distancia $h$, demostrar que la suma de las longitudes de todos los segmentos de $M$ es mayor o igual que $\frac{1}{k}$.

Sea $x$ un número real cuya representación decimal incluye todos los dígitos del $0$ al $9$ al menos una vez. Supongamos que existe un entero $n\geq 1$ tal que hay a lo sumo $n+8$ cadenas distintas de $n$ dígitos consecutivos en dicha representación decimal. Demostrar que $x$ es racional.