Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se consideran seis puntos $A,B,C,D,E,F$ elegidos aleatoria e independientemente en un círculo dado. Determinar la probabilidad de que los dos triángulos $ABC$ y $DEF$ sean disjuntos, es decir, que no tengan puntos en común.

Demostrar que las raíces de la ecuación \[x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\] no pueden ser todas reales si $2a^2\lt 5b$.

Se considera una familia finita de subconjuntos de una recta, cada uno de los cuales es la unión de dos intervalos cerrados. Además, cualesquiera tres de tales subconjuntos tienen un punto en común. Demostrar que hay un punto que es común a al menos la mitad de los subconjuntos de la familia.

Se tienen seis segmentos $S_1,S_2,S_3,S_4,S_5,S_6$ en el plano, que son congruentes a las aristas $AB,AC,AD,BC,BD,CD$, respectivamente, de un tetraedro $ABCD$. Construir con regla y compás un segmento congruente con la altura del tetraedro que parte del vértice $A$.

Consideremos un intervalo abierto de longitud $\frac{1}{n}$ en la recta real, siendo $n$ un entero positivo. Demostrar que el número de fracciones irreducibles $\frac{p}{q}$ con $1\leq q\leq n$ que están en el intervalo dado es a lo sumo $\frac{n+1}{2}$.