Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2717 problemas y 972 soluciones.
XVIII All-Soviet-Union Mathematical Competitions — 1984
Sesión 1 — Nivel 8 (primer día)
Problema 2459
ASU, 1984-P1
- El producto de $n$ enteros es igual a $n$ y su suma es cero. Demostrar que $n$ es divisible por $4$.
- Sea $n$ un entero divisible por $4$. Probar que existen $n$ enteros tales que su producto es igual a $n$ y su suma es cero.
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Problema 2460
ASU, 1984-P2
Dados $a$ y $b$ reales positivos, demostrar que se cumple la desigualdad
\[\tfrac{1}{2}(a+b)^2 + \tfrac{1}{4}(a+b)\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}.\]
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Problema 2461
ASU, 1984-P3
Consideremos dos triángulos equiláteros $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$, en los que los vértices se han etiquetado en sentido contrario a la agujas del reloj. Consideremos puntos $O,A,B,C$ en el plano tales que
\[\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{A_1A_2},\qquad\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{B_1B_2},\qquad\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{C_1C_2}.\]
Demostrar que el triángulo $ABC$ es equilátero.
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Problema 2462
ASU, 1984-P4
Dados cuatro colores y suficientes cuadrados $1\times 1$, pintamos los cuatro lados de cada cuadrado de cuatro colores diferentes para después formar un rectángulo $m\times n$ pegando $mn$ cuadrados $1\times 1$ de forma que los lados que se peguen deben tener el mismo color y cada lado del rectángulo $m\times n$ debe estar pintado de uno de los cuatro colores (sin mezclarlos). Hallar todos los valores de $m$ y $n$ para los que esto es posible.
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Sesión 2 — Nivel 8 (segundo día)
Problema 2471
ASU, 1984-P13
Una profesora escribió en la pizarra $x^2+10x+20$ y todos los alumnos de la clase, por turnos, le sumaron o restaron $1$ al término independiente o al coeficiente de $x$, pero no a ambos, llegando al resultado $x^2+20x+10$. ¿Se puede asegurar que durante el proceso hubo un polinomio cuadrado perfecto con raíces enteras?
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Problema 2472
ASU, 1984-P14
El centro de una moneda de radio $r$ se mueve a lo largo de un polígono con perímetro $p$ que admite una circunferencia inscrita de radio $R\gt r$. Hallar el área de la región que barre la moneda en su movimiento.
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Problema 2473
ASU, 1984-P15
Tenemos $n$ pesas con pesos enteros que suman un total de $2n$. Una balanza está inicialmente vacía y en sus platillos vamos colocando las pesas, una por una y por orden decreciente de peso. Cada pesa se coloca siempre en el platillo más ligero y, si resulta que están equilibrados, en el platillo de la izquierda. Demostrar que al terminar el proceso la balanza queda equilibrada.
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Problema 2474
ASU, 1984-P16
Un cierto entero $n$ es primo independientemente de cómo se reordenen sus dígitos (por ejemplo, $n=337$ cumple esta condición ya que $337$, $373$ y $733$ son primos). Demostrar que $n$ no puede tener más de tres dígitos distintos.
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Sesión 3 — Nivel 9 (primer día)
Problema 2463
ASU, 1984-P5
Demostrar que para cualesquiera $a,x,y\in\mathbb{R}$ con $x,y\geq 0$, se cumple que
\[x^{\mathrm{sen}^2(a)}\,y^{\cos^2(a)}\lt x+y.\]
pistasolución 1info
Pista. Utiliza la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática con pesos $\mathrm{sen}^2(a)$ y $\cos^2(a)$.
Solución. Podemos aplicar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica (ver la nota) a los números $x$ e $y$ (que se suponen positivos) con pesos $\mathrm{sen}^2(a)$ y $\cos^2(a)$ (que suman $1$) para obtener que
\[x^{\mathrm{sen}^2(a)}\,y^{\cos^2(a)}\leq x\,\mathrm{sen}^2(a)+y\cos^2(a)\leq x+y.\]
En la última desigualdad hemos usado que $\mathrm{sen}^2(a)\leq 1$ y $\cos^2(a)\leq 1$. Sin embargo, como $x,y\gt 0$ y no se puede cumplir que $\mathrm{sen}^2(a)=\cos^2(a)=1$, se tiene una desigualdad estricta, como queríamos probar.
Nota. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica de $n$ números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n\geq 0$ con pesos $w_1,w_2,\ldots,w_n\geq 0$ tales que $w_1+w_2+\ldots+w_n=1$ es la desigualdad \[x_1^{w_1}x_2^{w_2}\cdots x_n^{w_n}\leq w_1x_1+x_2w_2+\ldots+x_nw_n.\]
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Problema 2464
ASU, 1984-P6
Dos jugadores colorean por turnos las aristas de un cubo, coloreando en su turno tres aristas que no se hayan coloreado previamente. De esta forma, cada jugador tiene exactamente dos turnos y pinta seis aristas. El primer jugador las pinta de rojo y el segundo de azul. El primer jugador gana si al final queda una cara con sus cuatro aristas rojas y, en caso contrario, gana el segundo jugador. Describir, si existe, una estrategia ganadora.
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Problema 2465
ASU, 1984-P7
Sea $n\geq 3$ un entero. Se escriben números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n$ alrededor de una circunferencia en este orden. Supongamos que
\[r_1=\frac{x_n+x_2}{x_1},\quad r_2=\frac{x_1+x_3}{x_2},\quad r_3=\frac{x_2+x_4}{x_3},\quad\ldots\quad r_n=\frac{x_{n-1}+x_1}{x_n}\]
son todos números enteros. Demostrar que
\[2n\leq r_1+r_2+\ldots+r_n\lt 3n.\]
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Problema 2466
ASU, 1984-P8
La circunferencia inscrita de un triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC,CA,AB$ en lso puntos $A_1,B_1,C_1$, respectivamente. Los segmentos $AI,BI,CI$ cortan a dicha circunferencia en los puntos $A_2,B_2,C_2$, respectivamente, donde $I$ denota el incentro del triángulo $ABC$. Demostrar que las rectas $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$ son concurrentes.
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Sesión 4 — Nivel 9 (segundo día)
Problema 2475
ASU, 1984-P17
Encontrar los posibles valores de los dígitos $b$ y $c$ tales que el número $b\ldots b6c\ldots c4$, en el que colocamos $n$ dígitos iguales a $b$ y $n$ dígitos iguales a $c$, es un cuadrado perfecto para todo entero positivo $n$.
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Problema 2476
ASU, 1984-P18
Se consideran puntos $A,B,C,D$ sobre una recta en este orden. Demostrar que si $X$ es un punto que no pertenece a la recta, entonces
\[AX+DX+|AB-CD|\gt BX+CX.\]
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Problema 2477problema obsoleto
ASU, 1984-P19
Consideremos la sucesión de números reales definida recursivamente como
\[x_1=1,\quad x_2=1,\quad x_{n+2}=x_{n+1}^2-\tfrac{1}{2}x_n.\]
Demostrar que es convergente y hallar su límite.
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Problema 2478
ASU, 1984-P20
Las casillas de un tablero de ajedrez $1983\times 1984$ están coloreadas alternadamente de blanco y negro como es usual. En cada casilla blanca se escribe el número $1$ o $-1$. Para cada casilla negra, el producto de los números en las casillas blancas adyacentes es $1$. Demostrar que todos los números son iguales a $1$.
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Sesión 5 — Nivel 10 (primer día)
Problema 2467
ASU, 1984-P9
Encontrar enteros positivos $m$ y $n$ tales que
\[\left(5+3\sqrt{2}\right)^m=\left(3+5\sqrt{2}\right)^n.\]
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Problema 2468
ASU, 1984-P10
En una tabla $3\times n$, la primera fila contiene $n$ números reales en orden creciente, la segunda fila contiene los mismos $n$ números en cierto orden y la tercera fila es la suma de las dos primeras. Demostrar que si esta tercera fila también está en orden creciente, entonces la segunda fila coincide con la primera.
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Problema 2469
ASU, 1984-P11
Sea $ABC$ un triángulo y $P$ un punto del plano tal que las rectas $PA,PB,PC$ cortan a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $A_1,B_1,C_1$ y el triángulo $A_1B_1C_1$ es congruente con $ABC$. Demostrar que a lo sumo hay ocho puntos $P$ del plano con esta propiedad.
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Problema 2470
ASU, 1984-P12
Los números reales positivos $x,y,z$ cumplen las ecuaciones
\[\left\{\begin{array}{l}
x^2+xy+\frac{y^2}{3}=25,\\
\frac{y^2}{3}+z^2=9,\\
z^2+zx+x^2=16.
\end{array}\right.\]
Hallar el valor de $xy+2yz+3zx$.
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Sesión 6 — Nivel 10 (segundo día)
Problema 2479
ASU, 1984-P21
Un tablero de ajedrez $3\times 3$ tiene sus casillas coloreadas de blanco y negro en la forma usual con la casilla central blanca. En cada una de las cinco casillas blancas se escribe el número $1$ o $-1$. Un movimiento consiste en borrar un número y escribir en su lugar el producto de los números de sus casillas vecinas. Demostrar que puede conseguirse que todos los números sean iguales a $1$ después de un cierto número de movimientos.
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Problema 2480
ASU, 1984-P22
Determinar si $\ln(1.01)$ es mayor o menor que $\frac{2}{201}$ sin usar cálculo diferencial.
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Problema 2481
ASU, 1984-P23
Sean $C_1,C_2,C_3$ tres circunferencias de radios $r_1,r_2,r_3$, respectivamente, que no se cortan ni hay ninguna en el interior de otra. Supongamos que $r_1$ es mayor que $r_2$ y $r_3$, que las dos tangentes comunes exteriores a $C_1$ y $C_2$ se cortan en el punto $A$ y que las dos tangentes comunes exteriores a $C_1$ y $C_3$ se cortan en el punto $B$. Las dos tangentes desde $A$ a $C_3$ y desde $B$ a $C_2$ forman un cuadrilátero. Demostrar que este admite una circunferencia inscrita y hallar su radio.
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Problema 2482
ASU, 1984-P24
Demostrar que cualquier sección de un cubo que pase por el centro tiene área mayor o igual que el área de una de sus caras.
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