Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

El producto de dos de las cuatro raíces de la ecuación \[x^4-18x^3+kx^2+200x-1984=0\] es $-32$. Hallar el valor de $k$.

La media geométrica de un conjunto de $m$ enteros no negativos es la raíz $m$-ésima de su producto.

1. ¿Para qué enteros positivos $n$ existe un conjunto finito $S_n$ formado por $n$ enteros positivos distintos tales que la media geométrica de cualquier subconjunto de $S_n$ es un entero?
2. ¿Existe un conjunto finito $S$ de enteros positivos distintos tales que la media geométrica de cualquier subconjunto finito de $S$ es un entero?

Sean $P,A,B,C,D$ cinco puntos distintos en el espacios tales que \[\angle APB=\angle BPC=\angle CPD=\angle DPA=\theta,\] donde $\theta$ es un ángulo agudo dado. Determinar el mayor y menor valor posible de $\angle APC+\angle BPD$ en función de $\theta$.

Una competición matemática muy difícil tuvo dos partes con un total de $28$ problemas entre ambas. Cada participante resolvió 7 problemas en total y, para cada par de problemas, hubo exactamente dos participantes que resolvieron ambos problemas. Demostrar que hubo un participante que, en la primera parte resolvió o bien ningún problema o bien al menos 4 problemas.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $3n$ tal que \begin{align*} P(0)=P(3)=\ldots&=P(3n)=2,\\ P(1)=P(4)=\ldots&=P(3n-2)=1,\\ P(2)=P(5)=\ldots&=P(3n-1)=0\\ \end{align*} y $P(3n+1)=730$. Determinar el valor de $n$.