Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se trazan dos perpendiculares desde el punto medio de cada lado de un triángulo acutángulo a los otros dos lados. Demostrar que el área del hexágono formado por estas seis rectas es la mitad del área del triángulo original.

¿Existe algún entero positivo $n$ tal que la suma de sus dígitos es $1000$ y la suma de los cuadrados de sus dígitos es $1000000$?

Hallar el número máximo de piezas que se pueden colocar en las casillas negras de un tablero de ajedrez $8\times 8$ de forma que cada una de ellas puede ser comida por otra como en el juego de las damas.

Nota. Para que una pieza se coma a otra en el juego de las damas debe saltar en diagonal por encima de ella y caer en la casilla opuesta diagonalmente, la cual debe estar vacía.

¿Cuál es el número mínimo de colores necesario para pintar todos los lados y diagonales de un polígono regular de $n$ lados de forma que dos de tales segmentos que se corten tengan colores distintos?

Cada cara de un cubo se pinta de un color diferente y los mismos seis colores se usan para pintar las caras de una caja cúbica en la que el cubo cabe de forma ajustada. Demostrar que el cubo dentro de la caja de forma que cada cara del cubo no está pintada del mismo color que la cara de la caja con la que está en contacto.

Los puntos $A,B,C,D,E,F$ se encuentran sobre una circunferencia en ese orden y de forma que $AB=BC=CD=DE=EF$, siendo $AF$ un diámetro de la circunferencia. Si $O$ denota al centro de la circunferencia, supongamos que las rectas $OC$ y $OD$ cortan a $BE$ en $M$ y $N$, respectivamente. Demostrar que $MN+CD=OA$.

Dada una lista $(a,b,c,d)$ formada por cuatro números reales, podemos sustituirla por la lista $(a-b,b-c,c-d,d-a)$. Si $a,b,c,d$ no son todos iguales, demostrar que reiterando este proceso podemos conseguir que alguno de los números sea mayor que $1985$ después de un número finito de sustituciones.

Los números $1,2,\ldots,2n$ se separan en dos sucesiones disjuntas $a_1\lt a_2\lt\ldots\lt a_n$ y $b_1\gt b_2\gt\ldots\gt b_n$. Demostrar que \[|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\ldots+|a_n-b_n|=n^2.\]

Sean $r$ una recta y $O$ un punto en el plano que no pertenece a $r$. Demostrar que es posible mover un punto cualquiera $A$ en el plano hasta el punto $O$ usando únicamente rotaciones con centro en $O$ y simetrías axiales respecto de $r$.

Determinar el número máximo de enteros $n$ que satisfacen la desigualdad $|an^2+bn+c|\lt 50$ sabiendo que $a,b,c$ son números reales tales que $a\gt 100$.

En la siguiente tabla, cada entrada es un entero positivo distinto y cada uno de ellos es la suma del número que está por encima y del número que está a su izquierda. \[\begin{matrix} &&&j\\ &&h&i\\ &e&f&g\\ a&b&c&d\end{matrix}\] ¿Cuál es el menor valor posible de $d$?

Sea $0\lt a_1\lt a_2\lt a_3\lt\ldots$ una sucesión estrictamente creciente y no acotada de números reales positivos.

1. Demostrar que existe $k$ tal que, para todo $h\gt k$, se cumple que \[\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\ldots+\frac{a_h}{a_{h+1}}\lt h-1\]
2. Demostrar que existe $k$ tal que, para todo $h\gt k$, se cumple que \[\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\ldots+\frac{a_h}{a_{h+1}}\lt h-1985.\]

Un paralelepípedo de dimensiones enteras $r\times s\times t$ se descompone en $rst$ cubos unitarios. Tres caras del paralelepípedo con un vértice en común se colorean y, como resultado, exactamente la mitad de los cubos unitarios tienen alguna cara coloreada. Determinar el valor de $rst$.

Los números $1,2,\ldots,2n$ se separan en dos sucesiones disjuntas $a_1\lt a_2\lt\ldots\lt a_n$ y $b_1\gt b_2\gt\ldots\gt b_n$. Demostrar que \[|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\ldots+|a_n-b_n|=n^2.\]

Sea $ABCD$ un paralelogramo. Una circunferencia de radio $R$ pasa por $A$ y $B$. otra circunferencia del mismo radio $R$ que pasa por $B$ y $D$ corta a la primera en los puntos $B$ y $M$. Demostrar que el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $AMD$ es también $R$.

Un hexágono regular se divide en $24$ triángulos equiláteros mediante rectas paralelas a sus lados. Se asignan $19$ números distintos a los $19$ vértices de los $24$ triángulos. Demostrar que hay al menos $7$ de los $24$ triángulos tales que los números asignados forman una sucesión creciente al recorrerlos en sentido contrario a las agujas del reloj (empezando por el menor).

Encontrar todos los pares de números reales $(x,y)$ que verifican \[|\mathrm{sen}(x)-\mathrm{sen}(y)|+\mathrm{sen}(x)\,\mathrm{sen}(y)\leq 0.\]

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo y consideremos el pentágono $A'B'C'D'E'$ tal que $B$ es el punto medio de $AA'$, $C$ es el punto medio de $BB'$, $D$ es el punto medio de $CC'$, $E$ es el punto medio de $DD'$ y $A$ es el punto medio de $EE'$. A partir de este nuevo pentágono, mostrar cómo se puede recuperar el pentágono original utilizando únicamente regla y compás.

La sucesión infinita$\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$ cumple que $a_{4n+1}=1$, $a_{4n+3}=0$ y $a_{2n}=a_n$. Demostrar que esta sucesión no es periódica.

Se trazan $n$ rectas en el plano, que lo dividen en un cierto número de regiones, algunas de las cuales se pintan de negro de forma que no haya dos regiones pintadas adyacentes (aunque sí puede haberlas con un vértice en común). Demostrar que hay a lo sumo $\frac{n^2+n}{3}$ regiones pintadas de negro.

Sea $x$ un número real y definimos la sucesión \[x_0=1+\sqrt{1+x},\qquad x_n=2+\frac{x}{x_{n-1}}\text{ para todo }n\geq 1.\] Hallar todos los valores de $x$ para los que $x_{1985}=x$.

En un pentágono regular de lado $1$ se eliminan todos los puntos que estén a distancia menor que $1$ de todos los vértices. Determinar el área de la región que queda.

Sea $n\gt 12$ un entero y supongamos que tenemos un papel cuadriculado infinito. Demostrar que se puede recortar un rectángulo de más de $n$ cuadrados unitarios de forma que sea imposible recortar de este rectángulo otro rectángulo de exactamente $n$ cuadrados unitarios.

Nota. Los cortes se hacen siempre a lo largo de líneas de la cuadrícula.

Un cubo $ABCDA_1B_1C_1D_1$ tiene arista unidad. Hallar la distancia entre la circunferencia inscrita en la cara $ABCD$ y la circunferencia circunscrita al triángulo $AB_1C$.