Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determinar si existen soluciones enteras positivas del sistema de ecuaciones \[x_1^2+x_2^2+\ldots+x_{1985}^2=y^3,\qquad x_1^3+x_2^3+\ldots+x_{1985}^3=z^2,\] siendo $x_1,x_2,\ldots,x_{1985}$ enteros distintos.

Determinar todas las raíces reales de la ecuación \[x^4-(2\cdot 10^2+1)x^2-x+10^{20}+10^{10}-1=0\] con cuatro cifras decimales significativas.

Sean $A,B,C,D$ cuatro puntos en el espacio tales que a lo sumo una de las distancias $AB,AC,AD,BC,BD,CD$ es mayor que $1$. Determinar el máximo valor posible de las suma de las seis distancias.

Hay $n$ personas en una fiesta. Demostrar que pueden elegirse siempre dos de ellas tales que, de entre las $n-2$ personas restantes, hay al menos $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor-1$ que, o bien conocen a las dos o bien no conocen a ninguna de las dos.

Nota. Se supone que si $A$ conoce a $B$, entonces $B$ conoce a $A$. Además, $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera de un número real $x$.

Sea $\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$ una sucesión no decreciente de enteros positivos. Para cada $m\geq 1$, definimos $b_m=\min\{n:a_n\geq m\}$, es decir, $b_m$ es el valor mínimo de $n$ tal que $a_n\geq m$. Si $a_{19}=85$, determinar el máximo valor posible de \[a_1+a_2+\ldots+a_{19}+b_1+b_2+\ldots+b_{19}.\]