Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $a$ y $b$ enteros tales que las dos raíces del polinomio $x^2+ax+b+1$ son enteros positivos. Demostrar que $a^2+b^2$ es un número compuesto

Dos cuadrados, uno con sus lados pintados de azul y otro con sus lados pintados de rojo, se cortan para formar un octógono con lados alternadamente rojos y azules. Demostrar que la suma de las longitudes de los lados rojos del octógono es igual a la suma de las longitudes de sus lados azules.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Determinar el punto $P$ del lado $BC$ que minimiza el área de la intersección de los círculos circunscritos a los triángulos $ABP$ y $ACP$.

Dados $n$ puntos, determinar si es posible construir $n-1$ caminos entre ellos verificando las siguientes condiciones:

• la distancia más corta entre dos puntos siguiendo los caminos es un elemento del conjunto $\{1,2,3,\ldots,\frac{n(n-1)}{2}\}$,
• dado cualquier elemento de $\{1,2,3,\ldots,\frac{n(n-1)}{2}\}$, podemos encontrar dos puntos tales que la distancia más corta entre ellos a lo largo de los caminos es ese elemento.

Hallar los enteros positivos $a,b,c$ tales que $a^2+b=c$, sabiendo que tanto $a$ como $b$ son números formados por $n$ dígitos iguales y $c$ está formado por $2n$ dígitos iguales.

Dos puntos $A$ y $B$ se encuentran en el interior de un dodecágono convexo. Demostrar que si la suma de las distancias desde $A$ a cada vértice es $a$ y la suma de las distancias desde $B$ a cada vértice es $b$, entonces $|a-b|\lt 10\,AB$.

Tenemos $30$ tazas, cada una de las cuales contiene algo de leche. Un elfo es capaz de transferir leche de una taza a otra de forma que la cantidad de leche que contienen ambas sea la misma. ¿Existe alguna distribución inicial de la leche para la que el elfo no pueda igualar la cantidad de leche de todas las tazas después de un número finito de transferencias?

Un tablero de ajedrez $99\times 100$ está pintado de la forma usual con casillas alternas negras y blancas. ¿Qué fracción de la diagonal principal es negra? ¿Y si el tablero tiene dimensiones $99\times 101$?

Demostrar que no existe ningún cuadrilátero convexo cuyos vértices tienen coordenadas enteras tal que una diagonal tiene longitud el doble que la otra y se cortan en un ángulo de $45^\circ$.

Dados enteros positivos $m$ y $n$, demostrar que podemos rellenar las casillas de un tablero $m\times n$ con cuadrados perfectos de forma que las sumas de los elementos de cada fila y cada columna sean también cuadrados perfectos.

Dos circunferencias se cortan en los puntos $P$ y $Q$ y $A$ es un punto arbitrario de una de las circunferencias. Las rectas $AP$ y $AQ$ cortan a la otra circunferencia en $B$ y $C$, respectivamente.

1. Probar que el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ es igual a la distancia entre los centros de los dos círculos.
2. Hallar el lugar geométrico del centro de dicha circunferencia circunscrita al mover $A$ en la circunferencia.

Un hexágono regular tiene lado $1000$ y cada uno de sus lados se divide en $1000$ segmentos iguales de longitud $1$. Sea $S$ el conjunto formado por todos los vértices y los puntos de subdivisión. Se trazan todos los segmentos paralelos a los ejes que tienen extremos en puntos de $S$, de forma que el hexágono queda dividido en triángulos equiláteros de lado $1$. Sea $X$ el conjunto de los vértices de todos los triángulos. Podemos pintar cualesquiera tres puntos de $X$ que forman un triángulo equilátero (de cualquier tamaño) y repetir el proceso hasta que todos los elementos de $X$ menos uno estén pintados. Demostrar que el vértice que no se ha pintado no puede ser un vértice del hexágono original.

Sea $A_1A_2\ldots A_n$ un polígono regular de $n$ lados y sea $P$ un punto arbitrario del plano. Demostrar que si $n$ es par, podemos elegir los signos de forma que \[\pm\overrightarrow{PA_1}\pm\overrightarrow{PA_2}\pm\ldots\pm\overrightarrow{PA_n}=\overrightarrow{0}.\] Por el contrario, demostrar que, si $n$ es impar, entonces lo anterior es cierto solo para un número finito de puntos $P$ del plano.

Un tablero de ajedrez $99\times 100$ está pintado de la forma usual con casillas alternas negras y blancas. ¿Qué fracción de la diagonal principal es negra? ¿Y si el tablero tiene dimensiones $99\times 101$?

En cada casilla de un tablero $n\times n$ se coloca un $1$ o un $-1$ mediante el siguiente proceso: en primer lugar, se colocan $-1$ en todas las casillas del contorno; después, se elige una celda sin número asignado y se le asigna el producto de los números más cercanos a ella en su fila y columna hacia arriba/abajo/izquierda/derecha. ¿Cuál es el número mínimo y máximo de unos que podemos obtener de esta forma una vez el tablero completo se ha rellenado?

Demostrar que \[|\mathrm{sen}(1)|+|\mathrm{sen}(2)|+\ldots+|\mathrm{sen}(3n)|\gt\frac{8n}{5}.\]

Sea $d(n)$ el número de divisores positivos de un entero $n$ (por ejemplo, $d(12)=6$). Hallar todos los enteros $n$ para los que $d(n)^2=n$.

Demostrar que \[\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_1+a_2}+\ldots+\frac{n}{a_1+a_2+\ldots+a_n}\lt 4\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}\right)\] para cualesquiera números reales positivos $a_1,a_2,\ldots,a_n$.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB\neq AC$. Probar que sobre cada recta que pasar por $A$ existe a lo sumo un punto $X$ distinto de $A,B,C$ tal que $\angle ABX=\angle ACX$.

Un cubo $n\times n\times n$ se divide en $n^3$ cubos unitarios. Demostrar que podemos asignar un entero diferente a cada uno de ellos de forma que cada una de las $3n^2$ filas paralelas a cada arista tiene suma cero.

Sea $S$ el conjunto de todos los números racionales de la forma $\frac{1}{mn}$, donde $1\leq m\leq n\leq 1986$ son enteros. Demostrar que la suma de los elementos de $S$ no es entera.

Una circunferencia de radio $1$ está inscrita en un triángulo y también en un cuadrado. Demostrar que el área común al triángulo y al cuadrado es mayor o igual que $3.4$. ¿Podemos asegurar que sea mayor o igual que $3.5$?

Dado un entero $n$, hallar el número de polinomios $p(x)$ con coeficientes en el conjunto $\{0,1,2,3\}$ tales que $p(2)=n$.

Sean $A$ y $B$ puntos fijos en el exterior de una esfera $S$. Se eligen puntos $X$ e $Y$ de forma que $S$ está inscrita en el tetraedro $ABXY$. Demostrar que la suma de ángulos \[\angle AXB+\angle XBY+\angle BYA+\angle YAX\] es independiente de la elección de $X$ e $Y$.