Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
XV USA Mathematical Olympiad — 1986
Sesión 1
Problema 2388
USAMO, 1986-P1
- ¿Existen $14$ enteros positivos consecutivos tales que cada uno de ellos tiene algún factor primo $2\leq p\leq 11$?
- ¿Existen $21$ enteros positivos consecutivos tales que cada uno de ellos tiene algún factor primo $2\leq p\leq 13$?
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Problema 2389
USAMO, 1986-P2
Durante una cierta conferencia a la que asistieron cinco matemáticos, cada uno de ellos se quedó dormido exactamente dos veces. Para cada par de ellos hubo un momento en el que ambos estaban dormidos simultáneamente. Demostrar que, en un cierto momento, tres de ellos estaban dormidos simultáneamente.
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Problema 2390
USAMO, 1986-P3
¿Cuál es el menor entero $n\geq 1$ para el que la media cuadrática de los primeros $n$ enteros positivos es un entero?
Nota. La media cuadrática de $n$ números $a_1,a_2,\ldots,a_n$ se define como \[\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2}{n}}.\]
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Problema 2391
USAMO, 1986-P4
Se consideran dos circunferencias distintas $K_1$ y $K_2$ en el plano que se cortan en los puntos $A$ y $B$, siendo $AB$ un diámetro de $K_1$, y un punto $P$ de $K_2$ que queda en el interior de $K_1$. Construir, usando únicamente una escuadra, dos puntos $C$ y $D$ en $K_1$ tales que $CD$ es perpendicular a $AB$ y $\angle CPD$ es recto.
Nota. Aquí se entiende que una escuadra permite únicamente trazar una recta uniendo dos puntos y la perpendicular a una recta que pasa por un punto.
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Problema 2392
USAMO, 1986-P5
Una partición $\pi$ de un entero $n\geq 1$ es una representación de $n$ como suma de uno o más enteros positivos, donde los sumandos deben colocarse en orden no decreciente (por ejemplo, si $n=4$, las particiones $\pi$ son $1+1+1+1$, $1+1+2$, $1+3$, $2+2$ y $4$).
Para una partición dada $\pi$, definimos $A(\pi)$ como el número de unos que aparecen en $\pi$ y $B(\pi)$ como el número de enteros distintos que aparecen en $\pi$ (por ejemplo, si $n=13$ y $\pi$ es la partición $1+1+2+2+2+5$, entonces $A(\pi)=2$ y $B(\pi)=3$).
Demostrar que, para un entero fijo $n$, la suma de $A(\pi)$ cuando $\pi$ recorre todas las particiones de $n$ es igual a la suma de $B(\pi)$ cuando $\pi$ recorre todas las particiones de $n$.
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