Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Diez deportistas han participado en un torneo de tenis de mesa, habiéndose enfrentado entre sí cada posible pareja una única vez y sin haberse producido empates. Denotamos por $x_i$ e $y_i$, respectivamente, al número de victorias y derrotas del jugador $i$-ésimo. Demostrar que \[x_1^2+x_2^2+\ldots+x_{10}^2\leq y_1^2+y_2^2+\ldots+y_{10}^2.\]

Tenemos seis pesas cuyos pesos son números naturales sucesivos entre $1$ y $63$. Hallar todos los valores posibles de los pesos sabiendo que se pueden colocar en una balanza de forma equilibrada.

Demostrar que, en un heptágono regular $A_1A_2\ldots A_7$, se cumple que \[\frac{1}{A_1A_5}+\frac{1}{A_1A_3}=\frac{1}{A_1A_7}.\]

En el juego Hundir la flota, un jugador está buscando el barco $4\times 1$ del otro jugador en un tablero $7\times 7$ (y no hay más barcos colocados en el tablero). Puede preguntar por una casilla concreta a lo que el otro jugador responde agua o bien tocado dependiendo de si el barco se encuentra o no en esa posición. ¿Cuántas preguntas son necesarias como mínimo para garantizar que el primer jugador encuentra el barco? ¿Y si el barco en lugar de ser un rectángulo $4\times 1$ tiene forma de un tetrominó cualquiera?

Se tienen números positivos $a,b,c,A,B,C\gt 0$ tales que $a+A=b+B=c+C=k$. Demostrar que \[aA+bB+cC\leq k^2.\]

En cada casilla de un tablero $1987\times 1987$ se encuentra un número real con valor absoluto menor o igual que $1$ de forma que la suma de los números en cualquier cuadrado $2\times 2$ del tablero es igual a $0$. Demostrar que la suma de todos los números es menor o igual que $1987$.

Consideremos una cuerda $AB$ de una circunferencia con centro en un punto $O$. Sea $P$ un punto exterior a la circunferencia y $C$ un punto de la cuerda. Si la bisectriz de $\angle APC$ es perpendicular a $AB$ y está a distancia $d$ del punto $O$, demostrar que $BC=2d$.

Dos jugadores eligen por turnos números del conjunto $\{1,2,3,\ldots,n\}$, de forma que no se puede elegir ningún divisor de un número previamente elegido. El primer jugador que no puede elegir pierde. ¿Cuál de los dos tiene una estrategia ganadora si $n=10$? ¿Y si $n=1000$?

Dado un entero positivo $n$, demostrar que \[1^{1987}+2^{1987}+\ldots+n^{1987}\] es divisible entre $n+2$.

Consideremos piezas en forma de $L$ que se forman al quitar uno de los cuatro cuadrados unitarios que forman un cuadrado $2\times 2$. ¿Cuántas fichas de este tipo pueden colocarse en un tablero $8\times 8$ sin solapamientos? Demostrar que si a un tablero $1987\times 1987$ se le quita cualquier casilla, entonces los cuadrados restantes siempre pueden cubrirse con tales piezas sin solapamientos.

Se construyen cuadrados $ABC'C'', BCA'A'', CAB'B''$ exteriormente sobre los lados de un triángulo $ABC$. La recta $A'A''$ corta a las rectas $AB$ y $AC$ en $P$ y $P'$, respectivamente. De forma similar, $B'B''$ corta a las rectas $BC$ y $BA$ en $Q$ y $Q'$, y la recta $C'C''$ corta a $$CA$ y $CB$ en $R4 y $R'$. Demostrar que los seis puntos $P,P',Q,Q',R,R'$ están sobre una misma circunferencia.

Se tienen dos poligonales, con un número impar de lados cada una de ellas, de forma que no hay dos rectas coincidentes ni tres rectas concurrentes al considerar todas las prolongaciones de los lados. Demostrar que podemos elegir un lado de una de las poligonales y un lado de la otra poligonal de forma que sean lados opuestos de un cuadrilátero convexo.

¿Cuál es el menor número posible de subconjuntos de $S=\{1,2,3,\ldots,33\}$ tal que cada subconjunto tiene $9$ o $10$ elementos y cada elemento de $S$ pertenece al mismo número de subconjuntos?

Sea $S$ un conjunto de puntos coordenadas enteras y $V$ un conjunto finito de vectores no nulos en el plano. Para cada $p\in S$, si se traslada $p$ mediante los vectores de $V$ obtenemos más puntos que están en $S$ que puntos que no están en $S$. Demostrar que $S$ es infinito.

Un polígono convexo de $n\geq 5$ lados se corta a lo largo de todas sus diagonales. Demostrar que al menos dos de las piezas resultantes tienen distintas áreas.

El conjunto $T_0$ está formado por todos los números de la forma $(2^k)!$, siendo $k$ un entero no negativo. El conjunto $T_m$ consiste en todas las sumas de elementos distintos de $T_{m-1}$. Demostrar que hay algún número natural que no pertenece a $T_{1987}$.

Hallar un conjunto de cinco números diferentes tales que dos cualesquiera de ellos son primos relativos pero la suma de cualquier subconjunto no vacío es un número compuesto.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $\angle ABC=\angle ADE$ y $\angle AEC=\angle ADB$. Demostrar que $\angle BAC=\angle DAE$.

Para cada entero positivo $n$, demostrar que existe un número real $x$ tal que \[\cos(x),\cos(2x),\ldots,\cos(2^n x)\] son todos números negativos

Consideremos piezas en forma de $L$ que se forman al quitar uno de los cuatro cuadrados unitarios que forman un cuadrado $2\times 2$. ¿Cuántas fichas de este tipo pueden colocarse en un tablero $8\times 8$ sin solapamientos? Demostrar que si a un tablero $1987\times 1987$ se le quita cualquier casilla, entonces los cuadrados restantes siempre pueden cubrirse con tales piezas sin solapamientos.

Dos jugadores eligen por turnos números del conjunto $\{1,2,3,\ldots,n\}$, de forma que no se puede elegir ningún divisor de un número previamente elegido. El primer jugador que no puede elegir pierde. ¿Cuál de los dos tiene una estrategia ganadora si $n=10$? ¿Y si $n=1000$?

La gráfica de la función $y=f(x)$ permanece invariante si se rota un ángulo recto respecto del origen. Demostrar que $f(x)=x$ tiene una única solución y dar un ejemplo de dicha función.

Todas las caras de un poliedro convexo son triángulos. Demostrar que es posible pintar todas sus aristas de rojo y azul de forma que podamos llegar desde cualquier vértice a cualquier otro vértice recorriendo únicamente aristas rojas y también recorriendo únicamente aristas azules.

Demostrar que, para cualquier entero positivo $n$, se cumple la desigualdad \[(2n)^n+(2n-1)^n\leq (2n+1)^n.\]