Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar todas las soluciones de la ecuación \[(m^2+n)(n^2+m)=(m-n)^3,\] siendo $m$ y $n$ enteros no nulos.

Los pies de las bisectrices de un triángulo $ABC$ son los vértices de un triángulo rectángulo con ángulo recto en $X$, el pie de la bisectriz del ángulo $A$. Encontrar todos los valores posibles del ángulo $A$.

Sea $X$ el menor conjunto de polinomios $p(x)$ tal que

• $p(x)=x$ pertenence a $X$,
• Si $r(x)$ pertenece a $X$, entonces tanto $x\cdot r(x)$ como $(x+(1-x)r(x))$ pertenecen a $X$.

Demostrar que si $r(x)$ y $s(x)$ son elementos distintos de $X$, entonces $r(x)\neq s(x)$ para todo $0\lt x\lt 1$.

Sea $M$ el punto medio del segmento $XY$. Los puntos $P$ y $Q$ están en una recta que pasa por $Y$ de forma que $Y$ queda entre $P$ y $Q$ en dicha recta y además $XQ=2MP$ y $\frac{1}{2}XY\lt MP\lt \frac{3}{2}XY$. Hallar el valor de $\frac{PY}{QY}$ para el que $PQ$ es mínimo.

Sea $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ una sucesión de ceros y unos. Sea $T$ el número de ternas $(a_i,a_j,a_k)$ con $i\lt j\lt k$ que no son iguales a $(0,1,0)$ ni $(1,0,1)$. Para cada $1\leq i\leq n$, denotaremos por $f(i)$ al número de índices $1\leq j\lt i$ tales que $a_j=a_i$ más el número de índices $j\gt i$ tales que $a_j\neq a_i$. Demostrar que \[T=\sum_{i=1}^n\frac{f(i)(f(i)-1)}{2}.\] Si $n$ es impar, ¿cuál es el menor valor posible de $T$?