Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un libro tiene 30 capítulos, cada uno de los cuales tiene un número distinto de páginas entre 1 y 30. El primer capítulo empieza en la página 1 y cada capítulo empieza en una página nueva. ¿Cuál es el mayor número posible de capítulos que puede empezar en una página impar?

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Sea $Q$ el cuadrilátero que tiene por vértices los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ y los puntos medios de los lados $AB$ y $CD$. Sea $Q'$ el cuadrilátero que tiene por vértices los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ y los puntos medios de los otros dos lados $BC$ y $DA$. Si $Q$ y $Q'$ tienen la misma área, demostrar que una de las dos diagonales de $ABCD$ lo divide en dos triángulos de la misma área.

Probar que existen infinitas ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos distintos con $a+b=c+1$ y tales que cada uno de los tres números divide al producto de los otros dos.

Dada una sucesión de $19$ enteros positivos menores o iguales que $88$ y otra sucesión de $88$ enteros positivos menores o iguales que $19$, demostrar que podemos encontrar dos subsucesiones de términos consecutivos, una de cada una de las sucesiones originales, con la misma suma.

Demostrar que la sucesión \[a_n=1^1+2^2+3^3+\ldots+n^n\] contiene infinitos números compuestos impares.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Las tangentes a la circunferencia circunscrita en $A$ y $C$ cortan a la tangente en $B$ en $M$ y $N$, respectivamente. La altura desde $B$ corta a $AC$ en $P$. Demostrar que $BP$ biseca el ángulo $\angle MPN$.

Determinar el valor mínimo que puede tomar la expresión \[\frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+b}\] siendo $a,b,c,d$ números reales tales que $b,c\gt 0$, $a,d\geq 0$ y $b+c\geq a+d$.

Se escriben $n^2$ números reales en una tabla cuadrada de tamaño $n \times n$ de modo que la suma de los números en cada fila y en cada columna es igual a cero. Una jugada consiste en sumar una fila a una columna y restarla de otra columna, es decir, si las entradas de la tabla son $a_{ij}$ y seleccionamos la fila $i$, la columna $h$ y la columna $k$, entonces la columna $h$ se convierte en \[ a_{1h} + a_{i1}, \; a_{2h} + a_{i2}, \; \dots, \; a_{nh} + a_{in}, \] la columna $k$ se convierte en \[ a_{1k} - a_{i1}, \; a_{2k} - a_{i2}, \; \dots, \; a_{nk} - a_{in}, \] y las demás entradas permanecen sin cambios).

Demostrar que es posible hacer que todas las entradas sean cero después de un número finito de jugadas.

Un trapecio $ABCD$, con $AB$ paralelo a $CD$, está inscrito en una circunferencia fija y varía dejando también fijo el segmento $AC$. Si denotamos por $h$ a la distancia entre los puntos medios de $AC$ y $BD$ y por $k$ a la distancia entre los puntos medios de $AB$ y $CD$, demostrar que la razón entre $h$ y $k$ permanece constante.

Se escriben los números $1$ y $2$ en una pizarra vacía y se inicia un proceso en el que, siempre que estén escritos dos números $m$ y $n$, puede escribirse también el número $m+n+mn$. ¿Es posible obtener de esta forma el número $13121$? ¿Y el número $12131$?

Si los números racionales $x$ e $y$ verifican \[x^5+y^5=2x^2y^2,\] demostrar que $1-xy$ es el cuadrado de un número racional.

En una región hay $21$ ciudades conectadas por aerolíneas, cada una de las cuales opera conectando cada par de ciudades de un grupo de $5$ mediante vuelos directos. Determinar el mínimo número de aerolíneas necesario para que todas las ciudades están conectadas por vuelos directos (posiblemente por más de una aerolínea).

En un triángulo acutángulo $ABC$ se trazan las alturas $BD$ y $CE$. Sean $F$ y $G$ los puntos de la recta $ED$ tales que $BF$ y $CG$ son perpendiculares a $ED$. Probar que $EF = DG$.

Encontrar el valor mínimo de \[ \frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y} \] para números reales positivos $x, y, z$ tales que $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

Una línea poligonal conecta dos vértices opuestos de un cubo de arista $2$. Cada segmento de la línea tiene longitud $3$ y cada vértice se encuentra sobre las caras (o aristas) del cubo. ¿Cuál es el menor número de segmentos que puede tener la poligonal?

Sean $m, n, k$ enteros positivos con $m \geq n$ y $1 + 2 + \dots + n = nk$. Probar que los números $1, 2, \dots, n$ pueden dividirse en $k$ grupos de manera que la suma de los números en cada grupo sea $m$.

Hallar todos los enteros positivos $n$ que cumplen \[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{1988}\right)^{1988}.\]

Sean $A,B,C$ los ángulos de un triángulo. Demostrar que \[\frac{2\,\mathrm{sen}\,A}{A}+\frac{2\,\mathrm{sen}\,B}{B}+\frac{2\,\mathrm{sen}\,C}{C}\leq\left(\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\right)\mathrm{sen}\,A+\left(\frac{1}{C}+\frac{1}{A}\right)\mathrm{sen}\,B+\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}\right)\mathrm{sen}\,C.\]

La clase 10A tiene 29 estudiantes que aparecen listados en orden. La clase 10B tiene 32 estudiantes que también aparecen listados en orden. Cada día se eligen dos estudiantes para hacer de responsables de clase: uno de la clase 10A y otro de la clase 10B. Cada día cambia exactamente uno de los dos estudiantes, siendo reemplazado por el siguiente en la lista correspondiente (cuando el último estudiante de la lista es reemplazado, se vuelve al primero). En dos días distintos coincidieron los mismos dos estudiantes como responsables de clase. ¿Es posible que, comenzando en el primero de esos días y terminando el día anterior al segundo, cada pareja de estudiantes (uno de la 10A y uno de la 10B) haya compartido turno exactamente una vez?

En el triángulo $ABC$, el ángulo $\angle C$ es obtuso y $D$ es un punto fijo en el lado $BC$, distinto de $B$ y de $C$. Para cualquier punto $M$ en el lado $BC$, distinto de $D$, la semirrecta $AM$ corta a la circunferencia circunscrita $S$ de $ABC$ en $N$. La circunferencia que pasa por $M$, $D$ y $N$ corta nuevamente a $S$ en $P$, siendo $P$ distinto de $N$. Determinar la posición del punto $M$ que minimiza la distancia $MP$.

Una línea poligonal con un número finito de segmentos tiene todos sus vértices sobre una parábola. Cualesquiera dos segmentos consecutivos forman ángulos iguales con la tangente a la parábola en su punto de intersección. Uno de los extremos de la línea poligonal está también sobre el eje de la parábola. Demostrar que los demás vértices de la línea poligonal se encuentran todos en el mismo lado del eje.

Hallar el menor $n$ para el cual existe una solución al sistema \[ \left\{\begin{array}{r}\sin x_1 + \sin x_2 + \dots + \sin x_n = 0,\\ \sin x_1 + 2 \sin x_2 + \dots + n \sin x_n = 100.\end{array}\right. \]

Se define la sucesión de enteros $\{a_n\}$ mediante $a_0 = 0$ y $a_n = p(a_{n-1})$, siendo $p(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros positivos. Demostrar que, para cualesquiera dos enteros positivos $m, k$ con máximo común divisor $d$, se cumple que $\mathrm{gcd}(a_m, a_k) = a_d$.

Probar que, en cualquier tetraedro, el radio $r$ de la esfera inscrita satisface \[ r < \frac{ab}{2(a+b)}, \] donde $a$ y $b$ son las longitudes de un par cualquiera de aristas opuestas.