Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Al expresar una fracción irreducible $\frac{m}{n}$ como número decimal, se observa que tiene anteperiodo (es decir, hay al menos un decimal antes del periodo). Demostrar que $n$ es divisible por $2$ o por $5$.

El polinomio cúbico $x^3+ax^2+bx+c$ tiene coeficientes reales y tres raíces reales $r\geq s\geq t$. Demostrar que $k=a^2-3b\geq 0$ y que $\sqrt{k}\leq r-t$.

Sea $X=\{1,2,3,\ldots,20$ y $P$ el conjunto de todos los subconjuntos de $9$ elementos de $X$. Demostrar que, para cualquier aplicación $f:P\to X$, podemos encontrar un subconjunto $Y$ formado por $10$ elementos de $X$ tal que $f(Y-\{k\})\neq k$ para cualquier $k\in Y$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Demostrar que los circuncentros de los triángulos $IAB$, $IBC$ e $ICA$ están sobre un círculo cuyo centro es el circuncentro de $ABC$.

Consideremos el polinomio \[p(x)=(1-x)^{a_1}(1-x^2)^{a_2}(1-x^3)^{a_3}\cdots(1-x^{32})^{a_{32}},\] donde $a_1,a_2,\ldots,a_{32}$ son enteros no negativos. Al expandir y multiplicar todas esas potencias, el coeficiente de $x$ es $-2$ y los coeficientes de $x^2,x^3,\ldots,x^{32}$ son todos $0$. Determinar el valor de $a_{32}$.