Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Siete personas fueron visitaron una tienda tres veces cada una de forma que cada par de ellas coincidió en algún momento en la tienda. Demostrar que necesariamente hubo un momento en que tres de estas personas estuvieron en la tienda simultáneamente.

¿Pueden $77$ bloques de tamaño $3 \times 3 \times 1$ ensamblarse para formar un bloque de tamaño $7 \times 9 \times 11$?

La circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ toca a $AB$ en $M$. Sea $N$ un punto cualquiera en el segmento $BC$. Demostrar que existe una recta tangente común a las circunferencias circunscritas de los triángulos $AMN$, $BMN$ y $ACN$.

Un número entero positivo $n$ tiene exactamente $12$ divisores positivos \[1 = d_1 < d_2 < d_3 < \dots < d_{12} = n.\] Encontrar el valor de $n$ si para $m = d_4 - 1$ se cumple que $d_m =\frac{1}{8}(d_1 + d_2 + d_4)$.

Se colocan ocho peones en un tablero de ajedrez, de modo que haya exactamente uno en cada fila y en cada columna. Demostrar que un número par de peones está en casillas negras.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $A'$, $B'$, $C'$ puntos en los segmentos $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente, tales que \[\angle B'A'C' = \angle BAC \quad \text{y} \quad \frac{AC'}{C'B} = \frac{BA'}{A'C} = \frac{CB'}{B'A}.\] Demostrar que los triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ son semejantes.

En un bosque hay $n$ nidos y en cada uno vive un pájaro. Estos pájaros cambian de nido de forma que, tras el cambio, sigue habiendo exactamente uno en cada nido. Además, para cualesquiera pájaros $A, B, C, D$ (no necesariamente distintos), si la desigualdad entre distancias $AB < CD$ se cumple antes del cambio, entonces después del cambio se cumple $AB > CD$. Hallar todos los posibles valores de $n$.

Demostrar que los $120$ números de cinco cifras que son permutaciones de $12345$ pueden dividirse en dos conjuntos de manera que la suma de los cuadrados de los números en cada conjunto sea la misma.

Se tienen $2000$ monedas normales, dos de las cuales son falsas: una de ellas más pesada y otraás liviana, si bien todas son indistinguibles a simple vista. Queremos determinar si el peso promedio de las dos monedas anormales es menor, igual o mayor que el de una moneda normal. Mostrar cómo hacerlo usando una balanza un máximo de $4$ veces.

Sea un triángulo de perímetro $1$ con longitudes de lados $a, b, c$. Probar que \[a^2 + b^2 + c^2 + 4abc < \tfrac{1}{2}.\]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Se tienen puntos $X$ e $Y$ en los segmentos $AB$ y $CD$, respectivamente, tales que $\tfrac{AX}{XB} = \tfrac{CY}{YD} = \tfrac{m}{n}$. Las rectas $AY$ y $DX$ se cortan en $P$, y las rectas $BY$ y $CX$ se cortan en $Q$. Demostrar que $$\frac{\text{área}(XQYP)}{\text{área}(ABCD)} < \frac{mn}{m^2 + mn + n^2}.$$

Un cuadrado de $23 \times 23$ se recubre con cuadrados de tamaños $1 \times 1$, $2 \times 2$ y $3 \times 3$ sin solapamiento. ¿Cuál es el menor número posible de cuadrados $1\times 1$?

Un insecto está en un techo cuadrado de lado $1$ y puede saltar al punto medio del segmento que lo une con cualquiera de los cuatro vértices del techo. Probar que en $8$ saltos puede acercarse a menos de $1/100$ de cualquier punto elegido en el techo.

Un cuadrilátero $ABCD$ verifica $AB = CD$, siendo $AD$ paralelo a $BC$ pero $AB$ no es paralelo a $CD$. El triángulo $ABC$ se rota un cierto ángulo alrededor de $C$ obteniéndose el triángulo $A'B'C$. Demostrar que los puntos medios de $BC$, $B'C$ y $A'D$ están alineados.

Probar que, para cada entero $n\gt 0$, existe un polígono con vértices en puntos de la retícula y todos sus lados paralelos a los ejes, que puede descomponerse en rectángulos $1 \times 2$ y/o $2 \times 1$ de exactamente $n$ maneras.

Encontrar el menor entero positivo $n$ para el cual existe un entero $m$ tal que $$\left\lfloor \frac{10^n}{m} \right\rfloor = 1989.$$

Sea $ABC$ un triángulo. Se eligen puntos $D, E, F$ sobre $BC, CA, AB$, respectivamente, tales que $B$ equidista de $D$ y $F$, mientras que $C$ equidista de $D$ y $E$. Demostrar que el circuncentro de $AEF$ está sobre la bisectriz del ángulo $\angle EDF$.

Sean $S$ y $S'$ dos esferas secantes. La recta $BXB'$ es paralela a la línea de centros, donde $B$ es un punto de $S$, $B'$ es un punto de $S'$ y $X$ pertenece a ambas esferas. Sea $A$ otro punto de $S$ y $A'$ otro punto de $S'$ tales que la recta $AA'$ tenga un punto común a ambas esferas. Demostrar que los segmentos $AB$ y $A'B'$ tienen proyecciones iguales sobre la recta $AA'$.

Dos caminantes están a la misma altitud en una cordillera. El sendero que los une es poligonal, con todos sus vértices por encima de los caminantes. ¿Pueden ambos recorrer el sendero hasta intercambiar sus posiciones, de modo que en todo momento sus altitudes sean iguales?

Hallar el menor valor posible de $(x+y)(y+z)$, siendo $x$ e $y$ números reales positivos tales que $(x+y+z) xyz = 1$.

Un poliedro tiene un número par de aristas. Demostrar que es posible orientar cada arista con una flecha de manera que en cada vértice haya un número par de flechas que apunten hacia él (sobre las aristas incidentes).

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. ¿Existe una función $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tal que \[f(n+1) = f(f(n)) + f(f(n+2))\] para cualquier $n\in\mathbb{N}$.

Sea un polígono convexo tal que cualquier segmento que lo divida en dos partes de igual área y que tenga al menos un extremo en un vértice tiene longitud menor que $1$. Probar que el área del polígono es menor que $\tfrac{\pi}{4}$.