Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales positivos y sea $S=x_1+x_2+\ldots+x_n$ su suma. Demostrar que \[(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\leq 1+S+\frac{S^2}{2!}+\frac{S^3}{3!}+\ldots+\frac{S^n}{n!}.\]

Demostrar que la ecuación \[6(6a^2+3b^2+c^2)=5n^2\] no tiene soluciones enteras salvo $a=b=c=n=0$.

Sean $A_1,A_2,A_3$ tres puntos en el plano y, por comodidad, denotemos $A_4=A_1$ y $A_5=A_2$. Para $n=1,2,3$, supongamos que $B_n$ es el punto medio de $A_nA_{n+1}$ y supongamos que $C_n$ es el punto medio de $A_nB_n$. Supongamos que $A_nC_{n+1}$ y $B_nA_{n+2}$ se cortan en $D_n$ y que $A_nB_{n+1}$ y $C_nA_{n+2}$ se cortan en $E_n$. Calcular la razón entre las áreas de los triángulos $D_1D_2D_3$ y $E_1E_2E_3$.

Sea $S$ el conjunto que consiste en los pares $(a,b)$ de enteros positivos con la propiedad de que $1\leq a\lt b\leq n$. Demostrar que existen al menos \[4m\frac{m-\frac{n^2}{4}}{3n}\] ternas $(a,b,c)$ tales que $(a,b)$, $(a,c)$ y $(b,c)$ pertenecen todos a $S$.

Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que

• $f(x)$ es estrictamente creciente,
• $f(x)+g(x)=2x$ para todo $x\in\mathbb{R}$,

donde $g(x)$ es la inversa de $f(x)$, es decir, $f(g(x))=g(f(x))=x$ para todo $x\in\mathbb{R}$.