Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Para cada enteros positivo $n$, definimos \begin{align*} S_n&=1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\ldots+\tfrac{1}{n},\\ T_n&=S_1+S_2+S_3+\ldots+S_n,\\ U_n&=\tfrac{T_1}{2}+\tfrac{T_2}{3}+\tfrac{T_3}{4}+\ldots+\tfrac{T_n}{n+1}. \end{align*} Encontrar justificadamente enteros $0\lt a,b,c,d\lt 1000000$ tales que \[T_{1998}=a\cdot S_{1989}-b\quad\text{y}\quad U_{1988}=c\cdot S_{1989}-d.\]

Los 20 miembros de una club local de tenis han programado 14 partidos individuales entre ellos de forma que en cada partido juegan dos personas y cada miembro juega en al menos un partido. Demostrar que debe haber necesariamente un conjunto de $6$ partidos en el que jueguen $12$ miembros distintos.

Sea $P(z)=z^n+c_1z^{n-1}+c_2z^{n-2}+\ldots+c_n$ un polinomio con coeficientes reales $c_k$ y con variable compleja $z$. Supongamos que $|P(i)|\lt 1$. Demostrar que existen números reales $a$ y $b$ tales que $P(a+bi)=0$ y $(a^2+b^2+1)^2\lt 4b^2+1$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuyos lados cumplen las desigualdades $AB\lt AC\lt BC$. Si el punto $I$ es el centro de la circunferencia inscrita de $ABC$ y el punto $O$ es el centro de su circunferencia circunscrita, demostrar que la recta $IO$ corta a los segmentos $AB$ y $BC$.

Sean $u$ y $v$ números reales tales que \[u+u^2+u^3\ldots+u^8+10u^9=v+v^2+v^3+\ldots+v^{10}+10v^{11}=8.\] Determinar justificadamente cuál de los dos números $u$ y $v$ es mayor.