Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Probar que, para todo número real $x$, se cumple que \[x^4 > x - \tfrac{1}{2}.\]

La recta que une los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrilátero convexo forma ángulos iguales con las diagonales. Demostrar que ambas diagonales tienen necesariamente la misma longitud.

En un senado hay $30$ senadores y cada par de ellos son o bien amigos o bien enemigos. Cada senador tiene exactamente $6$ enemigos. Cada terna de senadores forma una comisión. Hallar el número de comisiones cuyos miembros so o bien todos amigos o bien todos enemigos entre sí.

El punto $P$ está dentro del triángulo $ABC$. Se traza una recta por $P$ paralela a cada lado del triángulo. Estas rectas dividen $AB$ en tres partes de longitudes $c_1, c_2, c_3$, a $BC$ en tres partes de longitudes $a_1, a_2, a_3$, y a $CA$ en tres partes de longitudes $b_1, b_2, b_3$, como se muestra en la figura. Probar que \[a_1b_1c_1 = a_2b_2c_2 = a_3b_3c_3.\]

Se juega un juego en tres movimientos. El primer jugador elige tres número reales no nulos y el segundo jugador los coloca como coeficientes de un polinomio cúbico en el que el coeficiente de $x^3$ ya está fijado en 1. ¿Puede el primer jugador asegurar que el cúbico final tenga tres raíces enteras distintas?

¿Cuál es el mayor valor posible de \[ \big| \, \dots \, \big| \, |a_1 - a_2| - a_3 \big| - \dots - a_{1990} \big|, \] donde $a_1, a_2, \dots, a_{1990}$ es una permutación de $1, 2, 3, \dots, 1990$?

Un triángulo equilátero de lado $n$ se divide en $n^2$ triángulos equiláteros de lado $1$. Se dibuja un camino a lo largo de los lados de los triángulos que pasa exactamente una vez por cada vértice. Probar que dicho camino necesariamente forma un ángulo agudo en al menos $n$ vértices.

¿Es posible colorear las casillas de un tablero de ajedrez de $1990 \times 1990$ en blanco y negro de modo que la mitad de las casillas en cada fila y en cada columna sean negras, y que las casillas simétricas respecto al centro tengan colores opuestos?

Sean $x_1, x_2, \dots, x_n$ números reales positivos con suma $1$. Demostrar que \[\frac{x_1^2}{x_1+x_2} + \frac{x_2^2}{x_2+x_3} + \dots + \frac{x_{n-1}^2}{x_{n-1}+x_n} + \frac{x_n^2}{x_n+x_1} \geq \frac{1}{2}.\]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y tomemos un punto $X$ en el lado $AB$. Las rectas $AC$ y $DX$ se cortan en $Y$. Demostrar que las circunferencias circunscritas de $ABC$, $CDY$ y $BDX$ tienen un punto común.

Dos saltamontes están en los extremos opuestos del intervalo $[0,1]$. Se marcan un número finito de puntos (mayor que cero) en el intervalo. Un movimiento consiste en que un saltamontes elija un punto marcado y salte sobre él hasta el punto simétrico respecto a él (a la misma distancia por el otro lado). El nuevo punto debe pertenecer al intervalo para que el movimiento sea válido, pero no necesita estar marcado.

¿Cuál es el menor $n$ tal que, si cada saltamontes realiza a lo sumo $n$ movimientos, terminan de manera que no quede ningún punto marcado entre ellos?

Encuentra todos los enteros $n$ tales que \[ \left\lfloor \frac{n}{1!} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{2!} \right\rfloor + \cdots + \left\lfloor \frac{n}{10!} \right\rfloor = 1001. \]

Sean \(A, B, C\) vértices consecutivos de un \(2n\)-gono regular y \(D\) el vértice opuesto a \(B\) (de modo que \(BD\) pasa por el centro del \(2n\)-gono). Sea \(X\) un punto en el lado \(AB\) y \(Y\) un punto en el lado \(BC\) tales que \(\angle XDY = \frac{\pi}{2n}\). Demostrar que \(DY\) biseca el ángulo \(\angle XYC\).

En un polígono convexo se trazan todas las diagonales y cada lado y cada diagonal se colorean de uno de $k$ colores distintos. Esto se hace de forma que no hay ninguna poligonal con vértices en los vértices del polígono que se colorea enteramente del mismo color. ¿Cuál es el mayor número de vértices para el que esto es posible (en función de $k$)?

Dado un punto $X$ y $n$ vectores $x_1,x_2,\ldots,x_n$ en el plano cuya suma es cero, para cada permutación de los vectores formamos un conjunto de $n$ puntos, comenzando en $X$ y sumando los vectores en orden. Por ejemplo, con el orden original obtenemos $X_1$ tal que $XX_1 = x_1$, $X_2$ tal que $X_1X_2 = x_2$, y así sucesivamente. Demuestra que existe una permutación tal que podemos encontrar dos puntos $Y, Z$ con $\angle YXZ = 60^\circ$, de manera que todos los puntos queden en el interior o en el perímetro del triángulo $XYZ$.

Dos circunferencias desiguales se cortan en dos puntos $X$ e $Y$. Sus tangentes comunes se cortan en $Z$. Una de las tangentes toca las circunferencias en $P$ y $Q$. Demuestra que $ZX$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $PXQ$.

Se tienen $1990$ montones de piedras, con $1, 2, 3, \dots, 1990$ piedras respectivamente. Un movimiento consiste en tomar el mismo número de piedras de uno o más montones. ¿Cuántos movimientos se necesitan como mínimo para retirar todas las piedras?

Sea $p(x)$ un polinomio cuadrático con coeficientes reales positivos cuya suma es 1. Demostrar que, dados números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n\gt 0$ con $x_1x_2\cdots x_n=1$, se cumple que \[p(x_1)p(x_2)\cdots p(x_n)\geq 1.\]

Un cubo de lado $100$ se divide en un millón de cubos unitarios con caras paralelas al cubo grande. Las aristas forman una retícula. Llamaremos diente a cualquier conjunto de tres aristas unitarias con un vértice común. ¿Es posible descomponer la retícula en dientes sin que compartan aristas?

Determinar para qué enteros positivos $n$ el número $$3^{2n+1} - 2^{2n+1} - 6^n$$ es compuesto.

Si todas las alturas de todas las caras de un tetraedro miden al menos $1$, demostrar que la distancia mínima entre cada par de aristas opuestas es mayor que $2$.

La siguiente ecuación con coeficientes indeterminados está escrita en la pizarra: \[x^3+\square x^2+\square x+\square = 0.\] Dos jugadores juegan por turnos, de forma que el primer jugadore elige un número y el segundo jugador lo pone en uno de los cuadrados vacíos. El proceso se repite tres veces hasta que se completan los huecos. ¿Es posible que el primer jugador elija los tres números de forma que se asegure que la ecuación tiene tres raíces enteras distintas, independientemente de lo que haga el segundo jugador?

Se tienen $2n$ monedas auténticas y $2n$ monedas falsas. Las monedas falsas son indistinguibles a la vista pero pesan menos (aunque todas pesan lo mismo entre sí). Muestra cómo identificar cada moneda como auténtica o falsa utilizando una balanza a lo sumo $3n$ veces.