Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dado un triángulo $ABC$, sean $D,E,F$ los puntos medios de $BC,AC,AB$, respectivamente, y sea $G$ el baricentro del triángulo. Para cada valor del ángulo $\angle BAC$, determinar el número de triángulos no semejantes podemos encontrar en los que $AEGF$ sea un cuadrilátero cíclico.

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales positivos y sea $S_k$ la suma de todos los productos de $k$ factores escogidos de entre $a_1,a_2,\ldots,a_n$. Demostrar que \[S_kS_{n-k}\geq\binom{n}{k}^2a_1a_2\cdots a_n\] para todo $k\in\{1,2,\ldots,n\}$.

Consideremos todos los triángulos $ABC$ con una base fija $AB$ y cuya altura desde el vértice $C$ es una constante $h$. ¿Para cuál de dichos triángulos es el producto de las alturas máximo?

Un conjunto de $1990$ personas se divide en subconjuntos disjuntos de forma que

• Nadie conoce a todos los otros miembros de su mismo subconjunto
• Dadas tres personas en un subconjunto siempre hay dos de ellas que no se conocen.
• Dadas dos personas en un subconjunto que no se conocen, hay exactamente una persona en el mismo subconjunto que conoce a ambas.

1. Demostrar que todos los miembros de un subconjunuto conocen al mismo número de personas de dicho subconjunto.
2. Hallar el número máximo posible de subconjuntos

Nota: Se entiende que si una persona $A$ conoce a otra persona $B$, entonces $B$ tabmién conoce a $A$. También se entiende que todas las personas se conocen a sí mismas.

Demostrar que para cada entero $n\geq 6$ existe un hexágono convexo que puede diseccionarse en exactamente $n$ triángulos congruentes.