Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un cierto estado expide matrículas que consisten en seis dígitos entre $0$ y $9$, con el requisito de que dos matrículas distintas deben diferir en al menos dos dígitos. Determinar justificadamente el número máximo de matrículas que el estado puede utilizar.

Consideremos una sucesión de funciones $\{f_n(x)\}$ que se define recursivamente como \begin{align*} f_1(x)&=\sqrt{x^2+48},\\ f_{n+1}(x)&=\sqrt{x^2+6f_n(x)},\quad \text{para todo }n\geq 1. \end{align*} Para cada entero positivo $n$, encontrar todas las soluciones reales de la ecuación $f_n(x)=2x$.

Supongamos que un collar $A$ tiene $14$ cuentas y otro collar $B$ tiene $19$ cuentas. Demostrar que para cualquier entero impar $n\geq 1$, hay una forma de numerar cada una de las $33$ cuentas con un entero del conjunto $\{n,n+1,\ldots,n+32\}$ de forma que cada entero se usa una única vez y las cuentas adyacentes tienen asignados números primos entre sí.

Nota. Un collar debe verse como un círculo en el que cada cuenta es adyacente a otras dos cuentas.

Hallar justificadamente el número de enteros positivos cuya representación en base $n$ tiene todos sus dígitos distintos y (excepto para el dígito de más a la izquierda) cada dígito difiere en $\pm 1$ de otro dígito que está más a la izquierda. La solución que se pide es una función de $n$ en su forma más sencilla posible.

Sea $ABC$ triángulo acutángulo en el plano. La circunferencia de diámetro $AB$ corta a la altura que pasa por $C$ en los puntos $M$ y $N$ y la circunferencia de diámetro $AC$ corta a la altura que pasa por $B$ en los puntos $P$ y $Q$. Demostrar que los puntos $M,N,P,Q$ están sobre una misma circunferencia.