Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2748 problemas y 1042 soluciones.
XXV All-Soviet-Union Mathematical Competitions — 1991
Sesión 1 — Nivel 9 (primer día)
Problema 2630
ASU, 1991-P1
Encuentra todos los enteros $a, b, c, d$ tales que
$$ab - 2cd = 3, \qquad ac + bd = 1.$$
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Problema 2631
ASU, 1991-P2
En una pizarra se escriben $n$ números. Repetidamente, borramos dos números y escribimos en su lugar la mitad de su media aritmética, hasta que queda un único número. Si todos los números originales eran $1$, demuestra que el número final no es menor que $1/n$.
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Problema 2632
ASU, 1991-P3
Cuatro rectas en el plano se cortan en seis puntos. Cada recta queda dividida en dos segmentos y dos semirrectas.
- ¿Es posible que los ocho segmentos tengan longitudes $1,2,3,\dots,8$?
- ¿Pueden las longitudes de los ocho segmentos ser ocho enteros distintos?
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Problema 2633
ASU, 1991-P4
Un boleto de lotería tiene $50$ casillas en las que debe colocarse una permutación de $1,2,3,\dots,50$. Cualquier boleto con al menos una casilla coincidiendo con la permutación ganadora obtiene un premio. ¿Cuántos boletos se necesitan para asegurarse de ganar un premio?
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Sesión 2 — Nivel 9 (segundo día)
Problema 2634
ASU, 1991-P5
Encontrar dos enteros distintos $m$ y $n$ tales que $mn+n$ y $mn+m$ sean ambos cuadrados. ¿Se pueden encontrar tales enteros entre $988$ y $1991$?
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Problema 2635
ASU, 1991-P6
Sea $ABCD$ un rectángulo. Se eligen puntos $K, L, M, N$ en los lados $AB, BC, CD, DA$, respectivamente, de manera que $KL$ es paralelo a $MN$ y $KM$ es perpendicular a $LN$. Demostrar que la intersección de $KM$ y $LN$ está sobre $BD$.
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Problema 2636
ASU, 1991-P8
Un investigador calcula que necesita hacer como máximo $91$ preguntas para averiguar un misterio suponiendo que todas las respuestas serán
sío
noy que todas serán verdaderas. Las preguntas pueden depender de las respuestas anteriores. Demuestra que puede arreglárselas con $105$ preguntas si sabe que como mucho una respuesta puede ser falsa.
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Problema 2637
ASU, 1991-P8
En un tablero $5 \times 5$ se coloca un signo menos en una casilla y signos más en las restantes. Un movimiento consiste en seleccionar un cuadrado de tamaño $2 \times 2$, $3 \times 3$, $4 \times 4$ o $5 \times 5$, y cambiar todos los signos en él. ¿Qué posiciones iniciales permiten una secuencia de movimientos que cambie todos los signos a positivos?
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Sesión 3 — Nivel 10 (primer día)
Problema 2638
ASU, 1991-P9
Demostrar que
$$\frac{(x+y+z)^2}{3} \geq x\sqrt{yz} + y\sqrt{zx} + z\sqrt{xy}$$
para cualesquiera números reales $x, y, z\geq 0$.
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Problema 2639
ASU, 1991-P10
- ¿Existe un triángulo en el cual dos lados sean múltiplos enteros de la mediana relativa a ese lado?
- ¿Existe un triángulo en el cual cada lado sea un múltiplo entero de la mediana relativa a ese lado?
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Problema 2640
ASU, 1991-P11
Se escriben los números $1,2,3,\dots,n$ en una pizarra (con $n \geq 3$). Un movimiento consiste en reemplazar dos números por su suma y el valor absoluto de su diferencia. Una secuencia de movimientos hace que todos los números se vuelvan iguales a $k$. Determina todos los posibles valores de $k$.
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Problema 2641
ASU, 1991-P12
La figura de abajo se corta a lo largo de las líneas en polígonos (que no tienen por qué ser convexos). Ningún polígono contiene un cuadrado $2 \times 2$. ¿Cuál es el número mínimo posible de polígonos?
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Sesión 4 — Nivel 10 (segundo día)
Problema 2642
ASU, 1991-P13
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. La circunferencia circunscrita de $ABO$ corta a $AC$ y $BC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Demostrar que las circunferencias circunscritas de $ABO$ y $MNC$ tienen el mismo radio.
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Problema 2643
ASU, 1991-P14
Un polígono de papel puede transformarse en un nuevo polígono haciendo un corte recto, lo que genera dos piezas nuevas, cada una con un nuevo lado. Luego se voltea una de las piezas y se vuelven a unir los dos nuevos lados. ¿Pueden hacerse transformaciones repetidas de este tipo para convertir un cuadrado en un triángulo?
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Problema 2644
ASU, 1991-P15
Un menor $h \times k$ de una tabla $n \times n$ está formado por las $hk$ celdas que se encuentran en $h$ filas y $k$ columnas. Llamaremos semiperímetro del menor al entero positivo $h+k$. Una colección de menores, cada uno con semiperímetro al menos $n$, contiene todas las celdas de la diagonal principal. Demostrar que dicha colección contiene al menos la mitad de las celdas de la tabla.
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Problema 2645
ASU, 1991-P16
- Sean $r_1, r_2, \dots, r_{100}, c_1, c_2, \dots, c_{100}$ números reales distintos. Se escribe $r_i + c_j$ en la posición $(i,j)$ de una matriz $100 \times 100$. Si el producto de los números en cada columna es $1$, demostrar que el producto de los números en cada fila es $-1$.
- Sean $r_1, r_2, \dots, r_{2n}, c_1, c_2, \dots, c_{2n}$ números reales distintos. Se escribe $r_i + c_j$ en la posición $(i,j)$ de una matriz $2n \times 2n$. Si el producto de los números en cada columna es el mismo, demostrar que el producto de los números en cada fila también es el mismo.
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Sesión 5 — Nivel 11 (primer día)
Problema 2646
ASU, 1991-P17
Se construye una sucesión de enteros positivos de la siguiente manera:
- Si la última cifra de $a_n$ es mayor que 5, entonces $a_{n+1} = 9a_n$.
- Si la última cifra de $a_n$ es 5 o menor y $a_n$ tiene más de una cifra, entonces $a_{n+1}$ se obtiene borrando la última cifra de $a_n$.
- Si $a_n$ tiene una sola cifra, que es 5 o menor, entonces la sucesión termina.
¿Podemos elegir el primer término de la sucesión de modo que no termine?
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Problema 2647
ASU, 1991-P18
Consideremos el polinomio $p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x$. Si $h$ es una raíz real de $p(x) = 1$ y $k$ es una raíz real de $p(x) = 5$, hallar $h+k$.
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Problema 2648
ASU, 1991-P19
Las cuerdas $AB$ y $CD$ de una esfera se cortan en $X$. Los puntos $A, C$ y $X$ son equidistantes de un punto $Y$ en la esfera. Demostrar que $BD$ y $XY$ son perpendiculares.
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Problema 2649
ASU, 1991-P20
- ¿Existen 4 vectores en el plano tales que ninguno sea múltiplo de otro, pero la suma de cada par sea perpendicular a la suma de los otros dos?
- ¿Existen 91 vectores no nulos en el plano tales que la suma de cualesquiera 19 sea perpendicular a la suma de los restantes?
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Sesión 6 — Nivel 11 (segundo día)
Problema 2650
ASU, 1991-P21
Sea $ABCD$ un cuadrado. Los puntos $X$ en el lado $AB$ e $Y$ en el lado $AD$ satisfacen $AX \cdot AY = 2 \, BX \cdot DY$. Las rectas $CX$ y $CY$ cortan la diagonal $BD$ en dos puntos. Probar que esos puntos pertenecen a la circunferencia circunscrita de $AXY$.
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Problema 2651
ASU, 1991-P22
Sea $X$ un conjunto con 100 elementos.
- ¿Cuál es el número mínimo de subconjuntos de $X$ tal que cada par de elementos pertenece al menos a un subconjunto y ningún subconjunto tiene más de 50 elementos?
- ¿Cuál es el número mínimo si además requerimos que la unión de cualesquiera dos subconjuntos tenga a lo sumo 80 elementos?
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Problema 2645
ASU, 1991-P16
- Sean $r_1, r_2, \dots, r_{100}, c_1, c_2, \dots, c_{100}$ números reales distintos. Se escribe $r_i + c_j$ en la posición $(i,j)$ de una matriz $100 \times 100$. Si el producto de los números en cada columna es $1$, demostrar que el producto de los números en cada fila es $-1$.
- Sean $r_1, r_2, \dots, r_{2n}, c_1, c_2, \dots, c_{2n}$ números reales distintos. Se escribe $r_i + c_j$ en la posición $(i,j)$ de una matriz $2n \times 2n$. Si el producto de los números en cada columna es el mismo, demostrar que el producto de los números en cada fila también es el mismo.
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Problema 2652
ASU, 1991-P23
Los números reales $x_1, x_2, \dots, x_{1991}$ satisfacen
$$|x_1 - x_2| + |x_2 - x_3| + \cdots + |x_{1990} - x_{1991}| = 1991.$$
¿Cuál es el valor máximo posible de
$$
|s_1 - s_2| + |s_2 - s_3| + \cdots + |s_{1990} - s_{1991}|,
$$
donde $s_n = \tfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$?
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