Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $G$ el baricentro de un triángulo $ABC$ y $M$ el punto medio de $BC$. Sea $X$ e $Y$ puntos en $AB$ y $AC$, respectivamente, que están alineados con $G$ de forma que $XY$ y $BC$ son paralelas. Supongamos que $XC$ y $GB$ se cortan en $Q$ y que $YB$ y $GC$ se cortan en $P$.Demostrar que el triángulo $MPQ$ es semejante al triángulo $ABC$.

Se tienen $997$ puntos en el plano. Cada par de ellos está conectado por un segmento rectilíneo con su punto medio coloreado de rojo. Demostrar que hay al menos $1991$ puntos coloreados de rojo. ¿Es posible encontrar un caso con exactamente $1991$ puntos rojos?

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n$ número reales positivos tales que \[a_1+a_2+\ldots+a_n=b_1+b_2+\ldots+b_n.\] Demostrar que \[\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+\ldots+\frac{a_n^2}{a_n+b_n}\geq\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{2}.\]

Durante un recreo, hay $n$ niños que se sientan en círculo alrededor de su profesora para jugar a un juego. La profesora camina alrededor de los niños en sentido horario y reparte caramelos a algunos de ellos de acuerdo con la siguiente regla. En primer lugar, selecciona un niño y le da un caramelo, luego se salta un niño y le da otro caramelo al siguiente, luego se salta dos niños y le da un caramelo al siguiente, luego se salta tres y así sucesivamente. Determinar los valores de $n$ para los que llega un momento (posiblemente después de varias vueltas) en el que todos los niños tienen al menos un caramelo.

Dados dos círculos tangentes y un punto $P$ sobre su tangente común perpendicular a la línea que une sus centros. Construir con regla y compás todos los círculos que son tangentes a estos dos y que pasan por el punto $P$.